Supongo que el espíritu de esta pregunta lo consigna en “Physics Magicland”, donde se desecha el viento, los terremotos, la consistencia del suelo y consideraciones prácticas similares.
Entonces, ofrecería la siguiente respuesta posible: nuestra capacidad de hacer una estructura arbitrariamente alta está limitada (dentro del contexto artificial del problema) por el límite elástico del acero. Para obtener la estructura más alta, que está a punto de colapsar bajo su propio peso, cada pieza debe estar justo por debajo de esta presión máxima (límite elástico de compresión). Si asumimos una estructura cilíndricamente simétrica, la masa total m por encima de cierto punto debería contribuir a una presión igual a esta presión máxima: [matemática] mg = PA [/ matemática], donde g es la aceleración debida a la gravedad, P es la presión máxima, y A es el área de la sección transversal. Si medimos una coordenada z de arriba hacia abajo, entonces podemos derivar una ecuación diferencial [matemática] g \ frac {dm} {dz} = A \ rho g = P \ frac {dA} {dz} [/ math ], donde [math] \ rho [/ math] es la densidad del acero. Esto tiene la solucion
[matemáticas] A = A_0 \ exp {\ rho gz / P} [/ matemáticas]
o
[matemáticas] r = r_0 \ sqrt {\ exp {\ rho gz / P}} [/ matemáticas],
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donde r es el radio en la coordenada z y [math] r_0 [/ math] es una constante de integración por determinar. Esta relación entre r y z describe la forma curva de la torre.
La integración para encontrar el volumen total, por lo tanto, la masa, igualando esto a M, e invirtiendo para encontrar la coordenada z correspondiente, produce la altura en función de M:
[matemáticas] z = \ frac {P} {\ rho g} \ log \ left \ {\ frac {g M} {\ pi r_0 ^ 2 P} \ right \} [/ math].
La altura de la escala (el coeficiente del logaritmo) es de aproximadamente 3 km, independientemente de la masa, pero dado que la constante [math] r_0 [/ math] puede elegirse arbitrariamente, el logaritmo puede ser, en principio, tan grande como lo elijamos. Esto implica que no hay límite superior a la altura, siempre que estemos dispuestos a hacer que la parte superior de la torre sea arbitrariamente delgada. Alternativamente, y solo un poco menos ridículo, podríamos decidir que el radio de la torre r_0 nunca debe ser más estrecho que un diámetro atómico.
Al arrojar números reales, esto parecería decir que podrías hacer una torre de 100 km con una libra de acero; sus 80 km superiores tendrían aproximadamente un átomo de espesor, pero crecería exponencialmente hacia la base hasta aproximadamente una décima de milímetro.
¡Otra victoria aplastante para la física teórica! O para decirlo de otra manera, las limitaciones no parecen provenir de propiedades materiales fundamentales, sino de todas esas cosas que ignoré …
