En la figura, los cuatro círculos exteriores tienen el mismo tamaño de radio. ¿Cuál es el radio del círculo interior?

En la figura, como puede ver, he marcado el radio de los ciclos externos = r. & radio del círculo pequeño interno = s

En el triángulo rectángulo ABC

AB² + BC² = AC²

=> (2r) ² + (2r) ² = (2r + 2s) ² (según la ley de Pitágoras)

=> 4r² + 4r² = 4 (r + s) ²

=> 8r² = 4 (r + s) ²

=> 2r² = r² + s² + 2rs

=> 2 r² – r² – s² – 2rs = 0

=> r² – 2rs -s² = 0

Ahora completando el cuadrado

=> r² -2rs + s² -s² -s² = 0

=> (r – s) ² – 2s² = 0

=> (rs) = √2s

=> √2s + s = r

=> s (√2 ​​+ 1) = r

=> s = r / (√2 + 1)

=> s = r (√2-1) / {(√2 + 1) (√2–1)}

=> s = √2r – r …… ..ANS

Puedes calcular esto usando el teorema de Pitágoras

(R + R) ^ 2 + (R + R) ^ 2 = (R + r + r + R) ^ 2

Consulte dia para más detalles

Llamemos al radio de los cuatro círculos [matemáticas] r [/ matemáticas]. Cada lado de ese cuadrado es [matemática] 2r [/ matemática], por lo que la distancia desde decir el círculo superior derecho al círculo inferior izquierdo es [matemática] \ sqrt {(2r) ^ 2 + (2r) ^ 2} = \ sqrt {2 (2r) ^ 2} = \ sqrt {2} * 2r [/ math] por el teorema de Pitágoras. No necesitamos tener en cuenta la versión negativa de la raíz cuadrada debido a que es una distancia, por lo que debe ser positiva. Si quita las partes de esa distancia que se superponen con los dos círculos exteriores, obtiene [math] \ sqrt {2} * 2r-2r [/ math] ya que la parte sacada de esa distancia de los dos círculos era su común radio dos veces. Ahora nos queda solo el diámetro del círculo interior. Divídalo entre 2 y obtenga que el radio del círculo interno es [math] \ sqrt {2} * rr = r (\ sqrt {2} -1) [/ math].

Unir los centros de los círculos remotos produce un segmento de línea de longitud [matemática] 2 \ sqrt {2} r [/ matemática] de la cual una longitud [matemática] 2r [/ matemática], no desea. Entonces tenemos [math] 2 \ sqrt {2} r-2r [/ math]. El radio requerido es la mitad de eso o, [math] r (\ sqrt {2} -1) [/ math]

Los cuatro círculos externos tienen el mismo radio, digamos R. Así, los centros de los cuatro círculos forman un cuadrado del lado 2R. La diagonal del cuadrado es, por lo tanto, 2Rx2 ^ 0.5, por lo tanto, el círculo interno más pequeño tendrá un diámetro de (2Rx2 ^ 0.5 – 2R) = 2R (2 ^ 0.5–1) = 0.828427124R y su radio = 0.828427124R / 2 = 0.414213562R.

(_ / 2–1) R

corrección: debería ser

0.414R y no 0.141R

Deje que los mismos radios de los cuatro círculos sean ‘R’

Deje que el radio del círculo interno sea ‘ r’

Al unir dos centros de círculo diagonalmente opuestos por una línea que pasa por el centro del círculo interno, obtenemos una diagonal para el cuadrado, un cuadrado formado al unir los centros de cuatro círculos externos.

También sabemos que:

longitud de diagonal [matemática] = \ sqrt {2} * [/ matemática] longitud de lado

(Teorema de Pitágoras)

longitud del lado [matemática] = 2 * R [/ matemática]

longitud de la diagonal [matemática] = R + 2r + R = 2 (R + r) [/ matemática]

Por lo tanto,

[matemáticas] 2 (R + r) = \ sqrt {2} * 2 * R [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica R + r = \ sqrt {2} * R [/ matemáticas]

Así,

[math] \ boxed {r = R (\ sqrt {2} -1)} [/ math] es el radio del círculo interno requerido r en términos del radio del círculo (s) externo (radios) R

Espero eso ayude.