Voy a ignorar la atmósfera, para facilitar los cálculos [matemática] ^ 1 [/ matemática] y asumir que estamos lanzando desde el ecuador.
Si desea tener en cuenta la energía obtenida de la rotación de la Tierra, creo que la forma más fácil sería dividir la energía cinética total en la parte asociada con el movimiento perpendicular al eje de rotación de la Tierra y la parte asociada con la rotación alrededor de dicho eje:
[matemáticas] \ text {E} _ \ text {k} = \ text {E} _ \ text {kp} + \ text {E} _ \ text {kr} = \ frac {\ text {mv} _ \ text {r} ^ 2} {2} + \ frac {\ text {I} \ omega ^ 2} {2} [/ math]
Donde [matemáticas] \ text {v} _ \ text {r} [/ math] es la velocidad perpendicular al eje de la Tierra, también conocida como velocidad radial, [math] \ text {I} [/ math] es el momento de inercia y [math ] \ omega [/ math] es la velocidad angular. Para una masa puntual (que es una suposición razonable porque el tamaño de nuestro proyectil no es comparable al radio de la Tierra) el momento de inercia es igual:
[matemáticas] \ text {I} = \ text {mr} ^ 2 [/ math]
Todavía no sabemos cuál será la velocidad angular a lo largo de la trayectoria, excepto el hecho de que inicialmente será igual a la de la Tierra. Como no habrá torque [matemática] ^ 2 [/ matemática] podemos suponer que el momento angular se mantendrá constante.
[matemáticas] \ text {L} = \ text {mr} ^ 2 \ omega [/ math]
[matemáticas] \ omega = \ frac {\ text {L} _0} {\ text {mr} ^ 2} [/ math]
[matemáticas] \ text {L} _0 = \ text {mr} _0 ^ 2 \ omega_0 [/ math]
[matemáticas] \ omega = \ frac {\ text {r} _0 ^ 2 \ omega_0} {\ text {r} ^ 2} [/ matemáticas]
Conociendo [math] \ text {I} [/ math] y [math] \ omega [/ math] ahora podemos derivar la expresión para la energía cinética rotacional en función del radio (y algunos valores constantes):
[matemáticas] \ text {E} _ \ text {kr} = \ frac {\ text {I} \ omega ^ 2} {2} = \ frac {\ text {mr} _0 ^ 4 \ omega_0 ^ 2} {2 \ text {r} ^ 2} [/ math]
Después de agregar la energía cinética y potencial, obtenemos la expresión de energía total:
[matemáticas] \ text {E} _ \ text {t} = \ frac {\ text {mv} _ \ text {r} ^ 2} {2} + \ frac {\ text {mr} _0 ^ 4 \ omega_0 ^ 2} {2 \ text {r} ^ 2} – \ frac {\ text {GMm}} {\ text {r}} [/ math]
Ahora solo tenemos que equiparar la energía inicial con la energía en el apogeo, derivar el radio en el apogeo a partir de esta ecuación y poner los números. La energía inicial es:
[matemáticas] \ text {E} _0 = \ frac {\ text {mv} _ {\ text {r} 0} ^ 2} {2} + \ frac {\ text {mr} _0 ^ 2 \ omega_0 ^ 2} {2} – \ frac {\ text {GMm}} {\ text {r} _0} [/ math]
El apogeo es el radio máximo, por lo que la velocidad radial será cero, junto con la energía cinética asociada, pero aún habrá algo de energía cinética rotacional:
[matemáticas] \ text {E} _ \ text {a} = \ frac {\ text {mr} _0 ^ 4 \ omega_0 ^ 2} {2 \ text {r} _ \ text {a} ^ 4} – \ frac {\ text {GMm}} {\ text {r} _ \ text {a}} [/ math]
Después de organizarnos, obtenemos una ecuación cuadrática que todavía parece un poco caótica:
[matemáticas] (2 \ text {GM} – \ text {v} _ {\ text {r} 0} ^ 2 \ text {r} _0- \ text {r} _0 ^ 3 \ omega_0 ^ 2) \ text { r} _ \ text {a} ^ 2- \ text {GMr} _0 \ text {r} _ \ text {a} + \ text {r} _0 ^ 5 \ omega_0 ^ 2 = 0 [/ math]
Debe tener dos raíces, una que corresponde al apogeo y otra que corresponde al perigeo, la última debe estar bastante por debajo de la superficie de la Tierra. El apogeo debería ser:
[matemáticas] \ text {r} _ \ text {a} = \ text {r} _0 \ frac {\ sqrt {\ text {G} ^ 2 \ text {M} ^ 2- \ text {r} _0 ^ 3 \ omega_0 ^ 2 (2 \ text {GM} – \ text {v} _ {\ text {r} 0} ^ 2 \ text {r} _0- \ text {r} _0 ^ 3 \ omega_0 ^ 2)} + \ text {GM}} {2 \ text {GM} – \ text {v} _ {\ text {r} 0} ^ 2 \ text {r} _0- \ text {r} _0 ^ 3 \ omega_0 ^ 2} [/matemáticas]
Utilizando valores precisos del radio ecuatorial de la Tierra [matemática] \ text {r} _0 [/ matemática], velocidad angular [matemática] \ omega_0 [/ matemática] y parámetro gravitacional estándar [matemática] \ text {GM} [/ matemática], obtenemos la respuesta de que el radio en apogeo es 7979.0 km, lo que equivale a una altura de 1600.9 km. También podemos calcular cuál sería el resultado sin la rotación configurando [math] \ omega_0 = 0 [/ math]:
[matemáticas] \ text {r} _ \ text {a} = \ text {r} _0 \ frac {2 \ text {GM}} {2 \ text {GM} – \ text {v} _ {\ text {r } 0} ^ 2 \ text {r} _0} [/ math]
El resultado es 7972.8 km, lo que equivale a una altura de 1594.7 km.
La diferencia puede no parecer mucho, pero los cohetes reales no vuelan “hacia arriba” en todo el camino. Para entrar en órbita, necesita que su velocidad sea más o menos paralela a la superficie de la Tierra, por lo que los cohetes vuelan lo suficiente como para salir de la atmósfera y girar para circularizar la órbita tan pronto como sea posible. La otra idea importante es la ecuación del cohete Tsiolkovsky: el logaritmo en él significa que acelerar su cohete en 1 km / s adicional puede requerir que tome un 50% más de combustible, que es una perra, considerando que necesita acelerar a unos 8 km / s para entrar en órbita en primer lugar. Es por eso que los 0.47 km / s adicionales que obtiene de la rotación de la Tierra (en el ecuador) son una bendición.
1) Verdaderamente, dependiendo de la masa y forma del pojectil, es posible que ni siquiera salga de la atmósfera.
2) Las fuerzas de marea no son significativas, incluso para un cuerpo tan masivo como la luna, la aceleración angular es de aproximadamente -26 segundos de arco / siglo [matemáticas] ^ 2 [/ matemáticas], y el vuelo completo de nuestro proyectil probablemente tomará menos de una hora.
