Sí, hay una conexión entre estas dos descripciones, pero es un poco más sutil de lo que parece ser. Pero déjenme desviarme un poco antes de explicar los detalles.
Comienza la digresión. En el caso del campo gravitacional generado por un punto de masa en GR, el agujero negro se describe mediante la solución (interior de) Schwarzschild. (Para ser precisos, la solución de Hilbert-Droste, porque el espacio-tiempo originalmente encontrado por Schwarzschild tenía la topología de [math] \ mathbb {R} \ times (\ mathbb {R} -0) \ times \ mathbb {S} ^ 2 [/ math], por lo que no había un agujero negro; la topología no está arreglada en GR, lamentablemente).
A diferencia de lo que B. Iyer sugirió aquí, el único aspecto del campo gravitacional generado por un punto de masa que la métrica expresada en términos de coordenadas de Schwarzschild no puede explicar es el agujero de gusano, la variedad que conecta la solución exterior al interior, o agujero negro, y tiene la extraña topología de [math] [0, \ infty [\ times \ mathbb {S} ^ 2 [/ math] (extraño debido a la unión con [math] {0} \ times \ mathbb {S } ^ 2 [/ math], de lo contrario sería homeomorfo a [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math]). Pero tanto el agujero negro en sí como el exterior están bien descritos por las coordenadas Schwarzschild, y si desea un análisis más detallado, puede usar las coordenadas Kruskal-Szekeres, Painlevé o Lemaitre, que cubren todo el espacio-tiempo múltiple.
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Y otra cosa incorrecta que el mismo usuario dijo aquí debe corregirse: el interior no se describe con una métrica como la de un espacio-tiempo plano . De hecho, cuando una geodésica en caída se aproxima a la singularidad del agujero negro en [math] r = 0 [/ math], sufrirá una gran fuerza de marea hasta que el observador sea aplastado y destruido . Heurísticamente, esto se debe a que la fuerza de marea está dando un campo de Jacobi que, a su vez, está relacionado con el tensor de Riemann [matemático] R [/ matemático], cuya contracción [matemática] S [/ matemática], el escalar de curvatura, es tal que [math] S \ to \ infty [/ math] como [math] r \ to 0 [/ math] (la singularidad “fundamental” en la variedad Schwarzschild).
Entonces, si la fuerza de marea se está volviendo demasiado grande, el observador realmente siente que está dentro del agujero negro. Pero lo que se pregunta aquí es qué sucede cuando alguna geodésica todavía está cayendo en el agujero negro en algún vecindario de [math] r = 2m [/ math], es decir, en el horizonte.
Tiempo de caída. Vamos a calcular el tiempo necesario para que un observador caiga en el horizonte. Entonces, [matemáticas] (t, r, \ phi, \ theta) [/ matemáticas] sean las coordenadas de Schwarzschild y [matemáticas] (M, g) [/ matemáticas] el múltiple espacio-tiempo. Supongo que el lector sabe que el vector de coordenadas de [math] t [/ math] es Killing (recuerde que la traducción del tiempo es una isometría en S. métrica). Deje [math] \ gamma = (\ gamma_t, \ gamma_r, \ gamma_ \ theta, \ gamma_ \ phi): I \ subset \ mathbb {R} \ to M [/ math] sea un observador radial con [math] g ( \ gamma ‘, \ gamma’) = – 1 [/ math], es decir, una partícula con masa unitaria (sin pérdida de generalidad aquí) tal que [math] \ gamma_ \ theta, \ gamma_ \ phi = consts. [/ math ] Entonces, según la ecuación de transporte, [math] g (\ gamma ‘, \ partial_t) = const [/ math], digamos [math] = – 1 [/ math] (debe ser negativo porque ambos [math] \ gamma’ , \ partial_t [/ math] son similares al tiempo y estamos usando la firma [math] (-, +, +, +) [/ math]. Por lo tanto, por álgebra:
[math] \ gamma_t ‘(s) = \ frac {1} {1-2m / \ gamma_r (s)} [/ math]
[matemáticas] (1-2m / \ gamma_r (s)) \ gamma_t ‘(s) ^ 2- \ frac {\ gamma_r’ (s) ^ 2} {1-2m / \ gamma_r (s)} = 1 [/ matemáticas]
Por lo tanto, [math] \ gamma_r (s) ‘= (2m / \ gamma_r (s)) ^ {1/2} [/ math]. Resolviendo esto, encontramos como soluciones generales:
[math] \ gamma_r (s) = (3/2) ^ {2/3} (K + \ epsilon \ sqrt {2m} s) ^ {2/3} [/ math]
donde [math] K \ in \ mathbb {R} [/ math] y [math] \ epsilon \ in {-1, + 1} [/ math] dependiendo de si el observador está cayendo ([math] \ epsilon = -1 [/ math]) o yendo al infinito ([math] \ epsilon = + 1 [/ math]). Entonces, en nuestro caso, [math] \ epsilon = -1 [/ math]. Ahora, suponemos que nuestra parametrización es tal que [math] \ gamma_r (0) = R \ in \ mathbb {R} [/ math], la posición radial inicial. Entonces, por álgebra:
[matemáticas] K = \ frac {2} {3} R ^ {3/2} [/ matemáticas].
Pero, por definición, el tiempo apropiado es dado por [math] \ int g (\ gamma ‘(s), \ gamma’ (s)) ds = – \ int ds [/ math]. Por lo tanto, el tiempo apropiado [matemáticas] h [/ matemáticas] en el que el observador cae en la solución interior obedece a [matemáticas] \ gamma_r (h) = 2m [/ matemáticas]. Entonces:
[matemáticas] h = \ frac {2} {3 \ sqrt {2m}} [R ^ {3/2} – (2m) ^ {3/2}] [/ matemáticas]
finito, como esperabas! Observe que si el observador nació exactamente en [matemática] r = 2m [/ matemática], el tiempo para llegar allí es [matemática] h = 0 [/ matemática], entonces estas ecuaciones se ven bien.
Finalmente, podríamos resolver la ecuación para la coordenada de tiempo de Schwarzschild, pero sería muy complicado. Una mejor manera es ver que
[matemáticas] \ lim _ {\ gamma_r (s) \ a 2m ^ +} \ gamma_t ‘(s) = \ lim _ {\ gamma_r (s) \ a 2m ^ +} \ frac {1} {1-2m / \ gamma_r (s)} = \ infty [/ math]
y que como [math] \ gamma_t ‘(s)> 0 [/ math] cuando [math] \ gamma_r (s)> 2m [/ math], concluimos que [math] \ gamma_t (r = 2m) \ to \ infty [/ math].
Marcos de referencia? Observe que los últimos cálculos compararon el tiempo medido por el observador en caída y uno estático indirectamente . No hemos realizado ninguna transformación de coordenadas. ¿Por qué? Debido a que el sistema de coordenadas del observador, llamado sistema inercial local de caída libre, no está definido globalmente. Recuerde que un marco de referencia es un campo vectorial de tipo temporal (apuntando hacia el futuro) [matemática] Q \ en segundos (M) [/ matemática], y es inercial si [matemática] DQ = 0 [/ matemática] donde [matemática] D [/ math] es la conexión Levi-Civita de [math] M [/ math]. Pero puede tomar como tarea: ¿hay algún marco de referencia global en [matemáticas] M [/ matemáticas] que inercial? No.
Pero si insiste, ¿cómo podemos definir el sistema de caída libre de [math] \ gamma [/ math]? Observe que el campo vectorial [math] \ gamma ‘\ in secT (\ gamma) [/ math] a lo largo de la geodésica descendente [math] \ gamma [/ math] es de hecho un marco de referencia inercial local (en el sentido de último párrafo), porque si [matemática] D _ {\ gamma} [/ matemática] denota la conexión Levi-Civita inducida sobre [matemática] \ gamma [/ matemática], entonces tenemos, por definición de geodésica, que [matemática] D_ {\ gamma} \ gamma ‘= 0 [/ math]; y es temporal (puede preguntar como ejercicio por qué apunta hacia el futuro). Luego, usando una vecindad convexa [matemática] U [/ matemática] de cada punto [matemática] \ gamma (s_0) [/ matemática], puede extender localmente [matemática] \ gamma ‘[/ matemática] a un campo vectorial [matemática ] \ en secT (U) [/ math].
Sin embargo, el último párrafo se basa en teoremas de existencia (como la existencia de un convexo vecino), pero usarlo en la práctica es absurdo, pero posible a priori.
Déjame saber de cualquier error y sugerencias son bienvenidas!
¡Salud!
