¿Cuál es una descripción intuitiva de la ecuación de onda, que describe cómo cada término de la izquierda es igual a cada término de la derecha utilizando una interpretación física?

En física clásica, cada movimiento es causado por fuerzas que actúan sobre los objetos estudiados. Hasta un factor numérico (que generalmente es la masa), las fuerzas son proporcionales a la aceleración del objeto, es decir, la segunda derivada del desplazamiento con respecto al tiempo [matemáticas] \ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial t ^ {2}} [/ math] (o la derivada del tiempo [math] \ frac {\ partial v} {\ partial t} [/ math] de la velocidad, que es la derivada del tiempo del desplazamiento [math] \ frac { \ partial u} {\ partial t} [/ math]). Así, el primer término en la ecuación de onda es una segunda derivada con respecto al tiempo.

En el caso específico de una onda, las fuerzas que actúan sobre el objeto no están localmente en equilibrio (de lo contrario no habría propagación), por lo que la fuerza tiene un gradiente (primera derivada en posición [matemáticas] \ frac {\ parcial F} { \ parcial x} [/ matemáticas]), y se espera que la aceleración del objeto sea proporcional a este gradiente de fuerza en el caso más simple (que es bastante común para ondas de amplitud pequeña).

Pero las fuerzas locales están relacionadas con una deformación local del objeto, es decir, con un gradiente [matemático] \ frac {\ parcial u} {\ parcial t} [/ matemático] del desplazamiento local (en sólidos) o la velocidad local (en fluidos). Entonces, la aceleración está relacionada con la derivada espacial de la derivada espacial del desplazamiento, es decir, la segunda derivada espacial del desplazamiento [matemática]
\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}} [/ math].

En conclusión, la derivada del segundo tiempo del desplazamiento es proporcional a su segunda derivada del espacio: [matemáticas]
\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial t ^ {2}} = c ^ {2} \ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}} [/ math] . El factor de proporcionalidad es directamente el cuadrado de la “velocidad” de la onda (o, mejor aún, la celeridad).

No explicaré en detalle cómo se calcula la celeridad, porque depende demasiado de la situación física. Una onda en un lago tiene una celeridad cuya fórmula es muy diferente de la onda acústica que viaja dentro de un fluido, en un sólido elástico hay al menos 2 celeridades diferentes para las vibraciones, e incluso no hablo de ondas electromagnéticas.