El concepto de ortogonalidad se remonta a vectores, como estos:
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Geométricamente, dos vectores son ortogonales cuando son perpendiculares, es decir, cuando hay un ángulo de 90 grados entre ellos. Por ejemplo, los vectores [math] \ mathbf {v} [/ math] y [math] \ mathbf {w} _1 [/ math] son ortogonales.
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En tres dimensiones, es posible identificar tres vectores unitarios (vectores con una longitud de 1) que son mutuamente perpendiculares: [math] \ hat {\ mathbf {x}} [/ math] que apunta en la dirección x, [math ] \ hat {\ mathbf {y}} [/ math] que apunta en la dirección y y [math] \ hat {\ mathbf {z}} [/ math] que apunta en la dirección z. Estos tres vectores se ven así:
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Los tres vectores son perpendiculares entre sí, y no hay otro vector (en 3D) que no pueda expresarse como una combinación lineal de estos tres vectores. En otras palabras, cualquier vector [math] \ mathbf {v} [/ math] puede escribirse como una combinación lineal de estos vectores,
[math] \ mathbf {v} = v_x \ hat {\ mathbf {x}} + v_y \ hat {\ mathbf {y}} + v_z \ hat {\ mathbf {z}} [/ math]
El coeficiente [math] v_x [/ math] cuantifica cuánto señala este vector en la dirección x, [math] v_y [/ math] indica cuánto apunta en la dirección y y [math] v_z [/ math] indica cuánto apunta en la dirección z. Por esta razón, llamamos a estos vectores unitarios vectores “básicos”. Forman una base completa para construir cualquier vector en el espacio. Ahora, podemos definir el producto punto ([math] \ cdot [/ math]) de dos vectores,
[matemáticas] \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v} = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z [/ math]
Geométricamente, el producto de punto proyecta un vector sobre el otro, o más o menos te dice cuánto apuntan los dos vectores en la misma dirección. Si los dos vectores son ortogonales o perpendiculares, entonces su producto punto es cero,
[math] \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v} = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z = 0 [/ math] (ortogonal)
Ahora, generalicemos esto a un espacio con cualquier cantidad de dimensiones. En las dimensiones [math] n [/ math], podemos identificar un conjunto ortogonal de vectores de unidad base: [math] \ hat {\ mathbf {e}} _ 1 [/ math], [math] \ hat {\ mathbf {e }} _ 2 [/ matemática], [matemática] \ hat {\ mathbf {e}} _ 3 [/ matemática],…, [matemática] \ hat {\ mathbf {e}} _ n [/ matemática]. Mientras este sea un conjunto completo de vectores de base ortogonales (no vectores de base repetidos), cualquier vector en este espacio puede escribirse como una combinación lineal de estos vectores de base,
[math] \ mathbf {v} = v_1 \ hat {\ mathbf {e}} _ 1 + [/ math] [math] v_2 \ hat {\ mathbf {e}} _ 2 +… + [/ math] [math] v_n \ hat {\ mathbf {e}} _ n [/ math]
o
[math] \ mathbf {v} = \ sum_ {m = 1} ^ {n} [/ math] [math] v_m \ hat {\ mathbf {e}} _ m [/ math]
Si tenemos en cuenta una base particular, podemos identificar el vector con el conjunto de coeficientes [math] v_m [/ math]. En dimensiones más grandes, simplemente nos referimos al producto escalar como producto escalar o producto interno. Por lo tanto, el producto escalar de dos vectores es
[math] \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 +… + u_n v_n = \ sum_ {m = 1} ^ {n} u_m v_m [/ math]
Nuevamente, si estos dos vectores son ortogonales, entonces este producto escalar es cero.
Después de todo eso, podría preguntarse “¿Qué tiene esto que ver con las funciones de onda?” Bueno, una función de onda [matemática] \ psi (x) [/ matemática] no es otra cosa que un vector de dimensión infinita . Arriba, usamos [matemática] m = 1,2,3,… [/ matemática] para indexar los coeficientes y los vectores base. En mecánica cuántica, la posición [matemáticas] x [/ matemáticas] es solo un índice. Entonces, el valor de la función de onda en cada punto del espacio es el coeficiente de algún vector base (abstracto). Y el producto escalar o interno de dos funciones de onda [matemáticas] \ psi (x) [/ matemáticas] y [matemáticas] \ phi (x) [/ matemáticas] es
[matemáticas] \ langle \ psi, \ phi \ rangle = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dx \ \ psi ^ * (x) \ phi (x) [/ math]
donde aquí tomamos el conjugado complejo (denotado por [math] * [/ math]) de la función de onda de la izquierda. Debido a que el índice [math] x [/ math] es una variable continua, la suma anterior se convierte en una integral. Pero aparte de eso, esta expresión es la misma que la anterior para el producto escalar de vectores. Al igual que antes, si las dos funciones de onda son ortogonales, entonces su producto interno es cero,
[matemáticas] \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dx \ \ psi ^ * (x) \ phi (x) = 0 [/ matemáticas]
¿Por qué es eso importante? Bueno, supongamos que alguna función de onda [matemática] \ phi (x) [/ matemática] es la solución de una ecuación de la forma,
[matemáticas] \ left (\ frac {d} {dx} \ left [p (x) \ frac {d} {dx} \ right] + q (x) \ right) \ phi (x) = \ lambda w ( x) \ phi (x) [/ matemáticas]
donde [matemática] p (x) [/ matemática], [matemática] q (x) [/ matemática] y [matemática] w (x) [/ matemática] son funciones de [matemática] x [/ matemática] y [matemática ] \ lambda [/ math] es un número real. Esta es la ecuación de Sturm-Liouville (la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es una forma especial de esta ecuación) y hay un teorema que establece (i) que hay un número infinito de soluciones [matemáticas] \ phi_m (x) [/ matemáticas ] ([matemática] m = 1,2,3,… [/ matemática]) a esta ecuación y (ii) las soluciones forman un conjunto completo de funciones ortogonales. Lo que esto significa es que cualquier función con buen comportamiento [matemática] f (x) [/ matemática] puede escribirse como una combinación lineal de estas funciones,
[matemáticas] f (x) = \ sum_ {m = 1} ^ {\ infty} c_m \ phi_m (x) [/ matemáticas]
Con suerte, verá la similitud entre esta expresión y nuestra expresión anterior expandiendo el vector [math] \ mathbf {v} [/ math] en términos sobre algún conjunto de vectores básicos. Es exactamente la misma idea. En mecánica cuántica, cada una de las [matemáticas] \ phi_m (x) [/ matemáticas] corresponde a un estado físico particular del sistema, correspondiente a cualquier operador que aparezca en el lado izquierdo de la ecuación de Sturm-Liouville. Si [math] \ Psi (x, t) [/ math] es la función de onda del sistema en el momento [math] t [/ math] que representa el estado físico general, entonces puede estar compuesto por una combinación posiblemente infinita de un físico particular declara al mismo tiempo ,
[matemáticas] \ Psi (x, t) = \ sum_ {m} c_m (t) \ phi_m (x) [/ matemáticas]
Para obtener la proyección del estado físico general (vector) [matemática] \ Psi [/ matemática] en un estado particular (vector) [matemática] \ phi_m [/ matemática], podemos aprovechar la ortogonalidad de las funciones de onda [matemáticas] \ phi_m (x) [/ matemáticas],
[math] \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dx \ \ phi ^ * _ k (x) \ phi_l (x) = \ {0 [/ math] if [math] k \ neq l [/ math] , [matemáticas] 1 [/ matemáticas] si [matemáticas] k = l \} [/ matemáticas]
Para este propósito, puedo establecer el producto interno de cada [math] \ phi_m [/ math] consigo mismo igual a uno sin cambiar realmente nada. Con esto, solo tomamos el producto interno de ambos lados de la ecuación anterior con [math] \ phi_k (x) [/ math] para obtener
[matemáticas] c_k (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dx \ \ phi ^ * _ k (x) \ Psi (x, t) [/ math]
Por lo tanto, tener un conjunto ortogonal de funciones de onda como base hace que las matemáticas sean mucho más fáciles. También sucede, gracias al teorema de Sturm-Liouville, que los estados físicos particulares correspondientes a los observables también siempre corresponden a las funciones de onda ortogonales.
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