Si considera la ley de Hooke más generalizada aplicada a un sólido elástico anisotrópico:
[matemáticas] σ_ {ij} = C_ {ijkl} * ε_ {kl} [/ matemáticas]
donde [math] C_ {ijkl} [/ math] es el tensor de rigidez elástica, que es un tensor de cuarto rango.
Al expandir la ecuación anterior obtendríamos nueve ecuaciones, cada una con nueve términos. Por lo tanto, hay 81 constantes en total.
Pero los tensores de tensión y deformación son simétricos; lo que lleva a:
[matemáticas] C_ {ijkl} = C_ {jikl} [/ matemáticas] y [matemáticas] C_ {ijkl} = C_ {ijlk} [/ matemáticas]
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Por lo tanto, 36 términos del tensor de rigidez elástica son independientes y distintos. Pero es posible una mayor reducción en el número de constantes independientes.
Generalmente, [matemáticas] C_ {ij} = C_ {ji} [/ matemáticas]
Lo que significa que de las 36 constantes, hay 6 constantes donde [math] i = j [/ math]. Esto deja 30 constantes, pero solo la mitad de ellas son independientes. Por lo tanto, para el sólido elástico lineal anisotrópico general hay (30/2) + 6 = 21 constantes elásticas independientes .
Para un material elástico isotrópico solo hay 2 constantes elásticas independientes .
Puede consultar este libro de GE Dieter para una mejor comprensión (Metalurgia mecánica)