Por “lleno completamente de estrellas” voy a suponer que quieres decir que el cielo debería ser totalmente blanco, en lugar del cielo negro con pinchazos de luz que vemos hoy.
Esta pregunta se atribuye al astrónomo alemán Heinrich Olbers, quien la describió en 1823, hace casi 200 años. Es conocida como la paradoja de Olbers.
La paradoja es que un universo estático, infinitamente antiguo, con un número infinito de estrellas distribuidas en un espacio infinitamente grande, sería brillante en lugar de oscuro.
Lord Kelvin utilizó la ausencia de un cielo nocturno brillante para discutir sobre la existencia de un universo finito observable o de un número finito de estrellas.
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La paradoja se explica por el hecho de que el universo es finitamente viejo y, por lo tanto, solo se pueden observar muchas estrellas desde la tierra. La densidad de las estrellas en este volumen finito es suficientemente baja (después de todo, hay una gran brecha en general entre las estrellas vecinas) para tener un cielo nocturno oscuro.
Incluso después de mil millones de años más, el cielo permanecerá oscuro.
Otro punto a considerar es la expansión del Universo y la teoría del Big Bang.
La teoría del Big Bang, de hecho, crea otro problema: según esta teoría, el cielo era mucho más brillante en el pasado, cuando el Universo era extremadamente joven.
Explicamos esto por el hecho de que, dado que el Big Bang implica la expansión del espacio, la energía de la luz emitida se ha reducido por el desplazamiento al rojo. Como resultado, la radiación del Big Bang se ha desplazado a la región de microondas, y se escucha como radiación de fondo cósmico de microondas (CMBR).
[Dato curioso: ¡el 1% de la estática que ves en la TV cuando no hay señal se debe al CMBR!]
Si observa una imagen hecha del CMBR observado, observa que es bastante uniforme: 
Por lo tanto, el cielo es infinitamente brillante, en cierto sentido, solo que no en el espectro visible.
Y en el espectro visible, debido a la naturaleza finita del universo observable, el cielo nunca estará lleno de estrellas.
