La teoría de modelos (una rama de la lógica matemática) se ocupa formalmente de tales asuntos. Un ejemplo de cómo se usa la teoría de modelos: considere la lógica de primer orden, con valores de verdad 0 y 1. Un lenguaje es un conjunto de símbolos de función, símbolos predicados y símbolos constantes (técnicamente funciones sin argumentos), digamos [matemáticas] (f_ {i }, P_ {j}, c_ {k}) [/ math] para algunos índices i, j y k. Para cada función y símbolo de predicado hay una “aridad” asociada, básicamente un número natural que indica cuántos argumentos usará en cualquier realización. Un ejemplo de dicho lenguaje es el lenguaje de anillos parcialmente ordenados, donde los símbolos son [matemática] (^ {- 1}, +, \ times, \ leq, 0,1). [/ Matemática] Ahora, antes de hacer cualquier cosa para este lenguaje, ninguno de los símbolos tiene ningún significado, son símbolos completamente lógicos. Como tal, la práctica de escribir el mismo grupo abeliano con suma y multiplicación en cierto sentido falla en la teoría de modelos, ya que son estructuras en diferentes idiomas. Ahora en el lenguaje anterior de anillos parcialmente ordenados, hay un símbolo unario y dos símbolos de función binaria, un símbolo de predicado binario y dos símbolos constantes.
Consideremos esto en un modelo concreto: necesitaremos un conjunto, digamos los números racionales. Luego, debemos interpretar todos los símbolos anteriores de alguna manera en este conjunto. Los símbolos de función en el lenguaje deben estar representados por funciones reales en el conjunto, por ejemplo, además: la cadena de símbolos puramente lógica “[math] + (0,1) [/ math]” podemos interpretar técnicamente de la manera que queramos , pero digamos que lo interpretaremos de forma natural como [matemáticas] 0 + 1 [/ matemáticas]. Podemos hacer un tratamiento similar de inversión, multiplicación, las constantes y el orden, y obtener la estructura familiar en los números racionales. Sin embargo, hay otras estructuras de anillo en el conjunto de racionales, y muchos otros conjuntos que puedes usar en su lugar; cada uno con muchas formas diferentes de interpretar los símbolos de función, etc.
Esto puede parecer muy pedante, pero realmente pone la relación entre una estructura particular, una estructura genérica y el lenguaje en el que está trabajando. Ahora para abordar su pregunta.
En la lógica proposicional, que es lo que la mayoría se refiere simplemente como “lógica”, consiste en el lenguaje de decir [matemáticas] (\ neg, \ vee) [/ matemáticas] y un conjunto llamado el universo del discurso. Independientemente del tamaño del conjunto involucrado en estas estructuras, solo hay innumerables expresiones / fórmulas en este lenguaje. Lo mismo es cierto si agrega finita o contablemente muchos símbolos constantes, o símbolos de relación. Es decir, si tiene el conjunto de todas las personas, y las relaciones como “es más alto que”, etc., solo hay innumerables fórmulas en el idioma. Sin embargo, ese no es el final de la historia:
Si permite que su idioma tenga innumerables símbolos constantes, entonces, para cada constante, tiene al menos una fórmula única, por ejemplo, para la constante c, “[math] c = c”. [/ Math] En una estructura donde puede realizar innumerables constantes como elementos diferentes del conjunto subyacente, como podemos en [math] \ mathbb {R} [/ math] pero no en [math] \ mathbb {N} [/ math] habrá innumerables satements diferentes.
Entonces, la respuesta a su pregunta titular es “sí”, podemos construir un lenguaje con innumerables declaraciones diferentes, sin embargo, esto no resuelve el teorema de la indefinibilidad.
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