Tratamos de hacer uno que no tenga triángulos isósceles, y obtenemos una contradicción.
En primer lugar, elija cualquier punto en el nonágono. Si gira su vértice elegido, será similar al mío. Elegí el punto para que sea negro, pero puede elegir todos los puntos elegidos como blanco para que sean negros y viceversa para obtener el mismo resultado. (Esto se llama, elegir sin la pérdida de generalidad) Ahora para mi punto elegido, 
Sus dos vecinos no pueden ser negros, porque entonces ya estaríamos listos.
Caso 1: ambos son blancos 
Ahora, ninguno de los puntos Blancos puede hacer que los vecinos de su vecino sean blancos, porque eso formará un triángulo, pero si ambos vecinos del vecino son negros, entonces formará un triángulo isósceles negro.
es decir. 
tiene un triángulo negro, pero 
y sus simetrías tendrán un triángulo blanco y, por lo tanto, nada de esto es posible.
Caso 2: Uno de los vecinos del vértice elegido será negro. 
Ahora el vecino de la segunda B no puede ser negro, pero eso nos da otro dilema. 
Ahora C no puede ser blanco ni negro, ya que eso provocaría una contradicción, pero como C debe ser coloreado, es inevitable que se forme un triángulo isósceles.
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Por lo tanto, no podemos evitar que 2 gones regulares de 2 colores contengan un triángulo isósceles de los vértices del mismo color.
Editar: me di cuenta, mi respuesta sigue exactamente la misma lógica que la respuesta de Nicky Cleaver a Suponga que tiene un 9-gon regular cuyos vértices son de color blanco o negro. ¿Cómo demuestras que puedes crear al menos un triángulo isósceles uniendo tres vértices del mismo color (es decir, tres vértices negros o tres vértices blancos)? Todavía mantendré esta respuesta aquí, sin embargo, resulta ser mucho más detallada …
Nota: Esta prueba hubiera sido mejor con una imagen de un nonágono con vértices numerados … pero no pude encontrar uno. Quizás antes de comenzar deberías dibujar uno. 
