El detector recibirá la mayor señal en [matemáticas] x = 2 \ frac {mv} {qB} [/ matemáticas]. Esta también es la distancia más lejana que recorrerá la partícula.
Ok, he trabajado un poco en esto. Parece haber cierta falta de información (aparentemente, ¿hay un componente z?) Pero realmente no debería cambiar la respuesta que tengo. Asumiré que el campo magnético está orientado en la dirección [math] z [/ math] de tal manera que los electrones trazan círculos en sentido antihorario (use la regla de la mano derecha).
Replanteemos el problema
Tenemos electrones entrando en la mitad superior del plano de coordenadas [matemática] y> 0 [/ matemática] en algún ángulo con respecto a la horizontal y con velocidad [matemática] v [/ matemática] desde el origen [matemática] (0, 0) [/ matemáticas]. Todo el eje [matemático] x [/ matemático] está revestido con material fotodetector que es completamente absorbente.
- Escuché a Brian Cox decir una vez en una conferencia que cada electrón afecta a todos los demás electrones del Universo al 'mover' uno, todos los demás cambian. ¿Cómo puede ser esto?
- ¿Cómo absorbe un electrón un fotón?
- ¿Por qué un electrón en movimiento no irradia energía y gira en espiral hacia el núcleo?
- Si la masa de electrones es insignificante, entonces, ¿qué tan negativamente aumenta la masa el material electrificado que el material positivamente electrificado?
- ¿Cuántos años tienen los electrones?
Dirección de la fuerza
Considere un campo magnético [matemático] \ vec {B} = \ pm B \ hat {z} [/ matemático] y velocidad [matemática] \ vec {v} = v_x \ hat {x} + v_y \ hat {y} + v_z \ hat {z} [/ math]. Entonces, la fuerza lorentz es [matemáticas] \ vec {F} = q \ vec {v} \ times \ vec {B} = qB \ left (v_y \ hat {x} – v_x \ hat {y} \ right) [ /matemáticas]
Si la partícula tiene velocidad en el plano [math] xy [/ math] tal que [math] \ vec {v} = v \ left (\ cos \ theta \ \ hat {x} + \ sin \ theta \ \ hat {y} \ right) [/ math]
entonces [math] \ vec {F} = qvB \ left (\ sin \ theta \ \ hat {x} – \ cos \ theta \ \ hat {y} \ right) [/ math].
¿Cuál es el radio de una órbita circular?
La fuerza lorentz sobre una partícula cargada (electrón con [matemática] q = 1 \ text {e} ^ – [/ matemática]):
[matemática] F = q \ left (\ vec {E} + \ vec {v} \ times \ vec {B} \ right) [/ math]
No hay campo eléctrico en la región que nos interesa. Hay un campo magnético en la dirección [math] z [/ math]. Si la partícula cargada también tiene una velocidad en la dirección [math] z [/ math], no habrá fuerza sobre ella. Por lo tanto, esta fuerza solo existe en el plano [math] xy [/ math]. Ver Apéndice A para las matemáticas.
Para el resto de esta pregunta, trataré la velocidad de la partícula cargada [matemáticas] v [/ matemáticas] como la magnitud de la velocidad en el plano [matemáticas] xy [/ matemáticas] solamente. Si hay un componente de velocidad en la dirección [math] z [/ math], solo tendrá una ruta helicoidal. Si mira hacia abajo a lo largo del eje [math] z [/ math], será circular.
Ahora, esta fuerza equilibra la fuerza centrípeta que siente la partícula. Viaja en un círculo en el plano [matemáticas] xy [/ matemáticas].
[matemáticas] \ frac {m | \ vec {v} | ^ 2} {r} = q | \ vec {v} || \ vec {B} | [/ matemáticas]
Resuelva para obtener el radio de este círculo (scripts vectoriales descartados, ya que debería estar claro que estamos tratando con magnitudes en este punto):
[matemáticas] r = \ frac {mv} {qB} [/ matemáticas]
La partícula cargada entra en un ángulo arbitrario [math] \ theta [/ math]
Aquí hay una imagen de un círculo [matemática] \ odot O [/ matemática] de radio [matemática] r [/ matemática] (ver arriba) con un triángulo inscrito [matemática] \ triángulo HKO [/ matemática]. La línea [math] \ overline {HK} [/ math] está a lo largo del eje [math] x [/ math]. [math] \ text {K} [/ math] se encuentra en el origen del sistema [math] (0,0) [/ math]. La partícula cargada sale en algún ángulo [matemático] \ theta [/ matemático] con respecto al eje positivo [matemático] x [/ matemático] (no representado) y el círculo se dibuja de manera que sea tangente a la velocidad de la partícula en el plano [math] xy [/ math]. ¿Tiene sentido? Okay. Frio. El objetivo es encontrar de nuevo dónde golpea el eje [matemático] x [/ matemático] en el punto [matemático] H [/ matemático]. Llamemos la longitud de [math] \ overline {HK} [/ math] como [math] d [/ math] y resolvamos en función de [math] \ theta [/ math].
Usando nuestra geometría, encontramos que [math] \ angle HOK = 2 \ theta [/ math]. Usando la Ley de cosenos, encontramos que
[matemáticas] d ^ 2 = r ^ 2 + r ^ 2 – 2r ^ 2 \ cos2 \ theta = 2r ^ 2 (1-cos2 \ theta) [/ matemáticas]
o
[matemáticas] d (\ theta) = r \ sqrt {2 (1- \ cos2 \ theta)} [/ matemáticas]
Nota, debido a la orientación del campo magnético y al hecho de que estamos mirando a los electrones: todos los electrones se desviarán a la izquierda de [matemáticas] K [/ matemáticas], de modo que nuestra distancia [matemáticas] d [/ matemáticas] denota la distancia a la izquierda Si el campo magnético se invirtió o si se volcó el signo de la carga, entonces la distancia sería hacia la derecha y sería la misma imagen (las partículas salen de [matemáticas] H [/ matemáticas] y llegan a [matemáticas] K [/matemáticas]).
Aquí hay una gráfica de [math] d [/ math] en función de [math] \ theta [/ math]: 
donde [matemáticas] r = \ frac {mv} {qB} [/ matemáticas].
Respondiendo la pregunta
Para responder a esta pregunta, necesitamos transformar la distribución uniforme de [math] \ theta [/ math] ‘s en la distribución de [math] d [/ math]’ s y ver cómo se ve. Haré tanto la solución analítica como los resultados de Monte Carlo ( mucho crédito a Michael Betancourt aquí por esta ayuda con probabilidad. Lo citaré hasta que encuentre mejores citas si es posible).
Tenemos una distribución en [math] \ theta [/ math] que llamaré [math] p_ \ theta (\ theta) [/ math] y algunos procesos que requieren [math] f: \ theta \ to d [/ math] (o mapeo de las densidades de probabilidad [math] p_ \ theta (\ theta) \ mapsto p_d (d) [/ math]). En general, lo describimos con una función de transición [matemática] T (d | \ theta) [/ matemática] para que podamos definir
[matemáticas] p_d (d) = \ int \ text {d} \ theta \ T (d | \ theta) p (\ theta) [/ math]
Como hay un mapeo determinista en este problema particular [matemática] d = f (\ theta) [/ matemática], la transición es en realidad una función delta
[matemáticas] p_d (d) = \ int \ text {d} \ theta \ \ delta (d – f (\ theta)) p (\ theta) [/ math]
Necesitamos integrarnos con esa función delta, pero contiene una función de [math] \ theta [/ math] así que necesitamos aplicar algo de magia: la función delta de Dirac.
[matemáticas] \ delta (g (x)) = \ delta (x_0) \ left | \ frac {dg} {dx} \ right | ^ {- 1} \ qquad \ qquad g (x_0) = 0 [/ math]
En nuestro caso, tenemos [math] g (x) = y – f (x) \ Rightarrow f (x_0) = y [/ math]. Entonces
[matemáticas] p_d (d) = \ int \ text {d} \ theta \ \ delta (f ^ {- 1} (d)) \ left | \ frac {df} {dx} \ right | ^ {- 1} p (\ theta) [/ math]
Ahora, pasemos al problema en cuestión. Tenemos un mapeo determinista
[matemáticas] d \ equiv f (\ theta) = \ sqrt {2 (1- \ cos2 \ theta)} [/ matemáticas]
que admite dos valores de [math] \ theta [/ math] para un determinado [math] d [/ math]. Necesitamos integrar y encontrar la distribución de probabilidad para [math] d [/ math] considerando ambos valores de [math] \ theta [/ math]. De hecho, teniendo cuidado aquí [[math] \ theta_0 = f ^ {- 1} (d) [/ math]]:
[matemáticas] p_d (d) = p \ left (\ theta_0 \ right) \ left | \ frac {df} {d \ theta} \ right | ^ {- 1} _ {+ \ theta_0} + p \ left (- \ theta_0 \ right) \ left | \ frac {df} {d \ theta} \ right | ^ {- 1} _ {- \ theta_0} [/ math]
donde [math] 0 \ leq \ theta \ leq \ pi [/ math] y [math] 0 \ leq d \ leq 2r [/ math]. Si hacemos el mapeo, obtenemos esta solución analítica:
¡SI! De todos modos, ¿qué significa eso?
Si empiezo con una distribución uniforme para [math] \ theta [/ math]: 
Obtengo la siguiente distribución para [math] d [/ math]:
que tiene un pico en el valor máximo [matemática] d = 2r [/ matemática] (para [matemática] r = 1 [/ matemática] como se indica en el problema.
Monte Carlo:
que es solo un histograma (100 bins) de los diferentes valores para [math] d [/ math] cuando [math] r = 1 [/ math]. Esto parece coincidir. Aquí hay algunos GIF agradables de lo que está sucediendo.
Para dos diferentes [matemáticas] \ theta = \ frac {\ pi} {4}, \ frac {3 \ pi} {4} [/ matemáticas] – He generado un GIF de las trayectorias.
Entonces puedes ver claramente que alcanzan la misma distancia. Pero, ¿por qué tenemos una agrupación cerca de la distancia máxima? Porque asignamos nuestra distribución uniforme a una distribución asimétrica en [math] d [/ math]. Aquí hay un gif que muestra la trayectoria completa de nuestra partícula para valores variables de [math] \ theta [/ math]. Dibujé líneas [matemáticas] 45 ^ \ circ [/ matemáticas] para mostrar cuándo estás al 25% y al 75% de los ángulos posibles. Observe qué tan rápido aumentamos la distancia en comparación.
Para cuando hemos pasado por el 25% de los ángulos, ¡ya hemos asignado al 50% de las distancias posibles!
Aquí está el código de Mathematica: Dropbox
