He tenido la intención de responder esto por un tiempo, así que finalmente saqué un poco de papel para hacerlo. El trabajo es un poco desordenado, y solo lo configuré, así que perdón.
Pero este es el tipo exacto de problema en el que he estado trabajando en uno de mis cursos, y no es tan trivial como parece. Puede comenzar entendiendo que el momento de inercia y el área de la sección transversal están cambiando a lo largo de la viga, que es exactamente donde entra el problema.
Primero, defino los términos de deformación para las cargas axiales y de flexión. Podemos descuidar los efectos de la cizalladura transversal y configurar el problema utilizando la minimización de la energía potencial. Suponemos que la deformación es elástica, y un simple término de energía de deformación puede asociarse tanto para la deformación axial como para la deformación.
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La energía potencial total será energía de deformación menos el trabajo externo. En este caso, es la carga vertical multiplicada por la desviación bajo esa carga, y las cargas axiales multiplicadas por su compresión / extensión en ese punto.
Ahora, podemos tomar la variación de la energía potencial total, lo que nos deja con una ecuación integral que se puede resolver para obtener una ecuación para la desviación bajo la carga. Para resolver esta ecuación, podemos notar que primero necesitamos reducir cualquier derivada de los desplazamientos virtuales, que se realiza mediante la integración por partes. Una vez hecho esto, los integrandos representan las ecuaciones de movimiento, que pueden establecerse en cero para cada integral respectivamente y resueltas, y los términos restantes son las condiciones de límite de fuerza y desplazamiento.
Me salté la integración y solo di las EOM y FBC resultantes. Este no es necesariamente un problema muy difícil, pero es mucho más complicado de lo que piensas. La parte más difícil es que la sección transversal real de la viga debe conocerse para integrar completamente los MOE, por lo que no existe una forma de solución general que no sea alguna ecuación integral.
Alternativamente, este tipo de problema es pedir una aproximación de Rayleigh-Ritz o FEM. Las condiciones límite de los desplazamientos son relativamente simples, y dar cuenta de una sección transversal variable no es demasiado difícil de tener en cuenta en ninguno de los métodos.
