En ausencia de par externo, el momento angular [matemático] L [/ matemático] permanece conservado.
[matemáticas] L = I \ omega [/ matemáticas]
[matemáticas] \ hspace {0.5 cm} = \ frac 25 MR ^ 2 \ omega [/ matemáticas]
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[matemáticas] \ hspace {0.5 cm} \ Rightarrow \ omega = \ frac {5L} {2 MR ^ 2} [/ matemáticas] … … … (1)
Ahora volumen de la esfera, [matemática] V = \ frac 43 \ pi R ^ 3 [/ matemática]
[matemáticas] \ hspace {1 cm} \ Rightarrow R ^ 3 = \ frac {3V} {4 \ pi} \ Rightarrow R ^ 2 = (\ frac {3V} {4 \ pi}) ^ {2/3} [ /matemáticas]
Inserte este valor de [matemáticas] R ^ 2 [/ matemáticas] en la ecuación (1) para tener
[matemáticas] \ omega = \ frac {5L (4 \ pi) ^ {2/3}} {2M (3V) ^ {2/3}} [/ matemáticas]
O, [matemática] \, [/ matemática] [matemática] \ omega = CV ^ {- 2/3} \ hspace {5 cm} [/ matemática]…… (2)
El objetivo de todo el ejercicio hasta el momento era encontrar una relación entre [matemáticas] \ omega [/ matemáticas] y [matemáticas] V [/ matemáticas] de modo que todas las demás cantidades sean constantes. Reemplacé todas las cantidades constantes por [matemáticas] C [/ matemáticas] para llegar a la ecuación (2)
Siga adelante y tome el logaritmo de la ecuación (2)
[matemáticas] ln \, \ omega = ln \, C + ln \, V ^ {- 2/3} [/ matemáticas]
Diferenciar con respecto a cualquiera de las variables, [matemática] V [/ matemática] o [matemática] \ omega [/ matemática]. Elijo [matemáticas] V [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac 1 {\ omega} \ frac {d \ omega} {dV} = – \ frac 23 \ frac {1} {V} [/ math]
O, [matemática] \ hspace {1 cm} \ frac {d \ omega} {\ omega} = – \ frac 23 \ frac {dV} {V} [/ math]
O, [matemáticas] \ hspace {1 cm} \ frac {d \ omega} {\ omega} \ times 100 = – \ frac 23 \ frac {dV} {V} \ times 100 = – \ frac 23 \ times 0.5 \ , \% = – \ frac 13 \, \% [/ math]
El signo negativo indica que [matemáticas] \ omega [/ matemáticas] disminuyen.
Tenga en cuenta que el método solo funciona cuando los cambios son pequeños.
Puede encontrar un método ligeramente diferente aquí https://www.stemez.com/subjects/…
