Puede tener movimientos complicados: la turbulencia es extremadamente complicada, por ejemplo, y ciertamente no es solo un paralelogramo simple. De lo que estás hablando es de una aproximación que funciona en volúmenes muy pequeños del fluido. Su nombre es “tensor de tensión”.
En el cálculo, aprende a aproximar curvas complicadas con líneas tangentes rectas. Estas aproximaciones solo son buenas para pequeñas regiones de las curvas. Escribimos la aproximación como
[matemáticas] f (x + \ delta) \ aprox. f (x) + \ delta f ‘(x) [/ matemáticas]
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Adaptemos esto a un fluido. Si dejas caer motas de polvo en el fluido y observas cómo se mueven en el transcurso de diez segundos, obtendrás un mapa [matemática] M [/ matemática] desde su posición original [matemática] (x, y) [/ matemática ] a su posición final [matemáticas] (x ‘, y’) = M ((x, y)) [/ matemáticas].
Si elegimos dos puntos muy cerca uno del otro, deberíamos poder usar una aproximación de primer orden para [math] M [/ math], entonces
[matemáticas] M ((x + \ delta x, y + \ delta y)) \ aprox [/ matemáticas]
[matemática] (x ‘, y’) + \ delta x \ frac {\ parcial M} {\ parcial x} + \ delta y \ frac {\ parcial M} {\ parcial y} [/ parcial]
Ignorando la traducción general de [math] (x ‘, y’) – (x, y) [/ math] (que no tiene impacto en la física ya que podemos eliminarla cambiando los marcos de referencia, suponiendo que no haya un campo externo), esto es exactamente lo que queremos decir con una transformación lineal, es decir, [matemática] M [/ matemática] es lineal en [matemática] \ delta x [/ matemática] y [matemática] \ delta y [/ matemática].
La expresión [math] \ frac {\ partial M} {\ partial x} [/ math] puede ser un poco confusa. En realidad, hay dos derivados aquí: [matemática] \ frac {\ partial x ‘} {\ partial x} [/ math] y [math] \ frac {\ partial y’} {\ partial x} [/ math]. La ecuación completa se puede representar mediante una matriz 2 × 2
[matemáticas] M ((x + \ delta x, y + \ delta y)) \ aprox [/ matemáticas]
[matemáticas] \ begin {bmatrix} x ‘\\\\ y’ \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial x ‘} {\ partial x} & \ frac {\ partial x’} { \ partial y} \\\\ \ frac {\ partial y ‘} {\ partial x} & \ frac {\ partial y’} {\ partial y} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ delta x \\ \\ \ delta y \ end {bmatrix} [/ math]
Esto dice que las transformaciones de pequeños pedazos de fluido son matrices de 2 × 2. Estas matrices son paralelogramos. Esa es la primera parte de tu pregunta.
La segunda parte trata sobre por qué tales transformaciones pueden representarse mediante rotación, corte y escala. La matemática detrás de esto se llama “teoría de representación grupal”, y puede mostrar que esas transformaciones forman la representación irreducible del grupo en cuestión. Probablemente encuentre este material un poco absurdo de abordar en general en este punto (personalmente no lo he aprendido), pero puede escribir fácilmente una matriz invertible general de 2 × 2 como una combinación de corte, escala, rotación .
La escala, o expansión, es el rastro de [matemáticas] M [/ matemáticas]. La cizalladura es la parte simétrica y tiene rastro cero. La rotación es la parte que es antisimétrica. Si los escribe y los suma, verá que pueden combinarse para hacer una [matemática] M [/ matemática] invertible arbitraria.
Si no puede hacer que eso funcione, consulte las páginas 6 a 11 de la página en Caltech
Nota: no es matemático. Ayúdame si la notación es confusa o el lenguaje es demasiado impreciso.
