La teoría de grupos (incluidos los grupos discretos y los grupos continuos) proporciona herramientas matemáticas para describir simetrías y propiedades de simetría en sistemas físicos. Por ejemplo, las simetrías de un sistema físico y sus leyes de conservación están directamente relacionadas; están incrustados en el hamiltoniano. Están unidos a partículas elementales en teorías de interacciones fundamentales. Las leyes de conservación están incrustadas en las simetrías de la acción o lagrangianas a través del teorema de Noether.
En el modelo estándar de física de partículas, las simetrías actúan en el espacio-tiempo y pertenecen al conjunto de transformaciones del grupo de Poincaré, o son simetrías de calibre que actúan sobre las cargas de las partículas elementales y están vinculadas a las álgebras de Lie [matemáticas] SU ( 3) [/ matemática], [matemática] SU (2) [/ matemática] y [matemática] U (1) [/ matemática] mediante la teoría de Yang-Mills.
Pueden existir simetrías para partículas elementales, átomos y moléculas, o para sistemas con muchas partículas como líquidos, cristales y fluidos.
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Tomemos un ejemplo particular de cómo la teoría de grupos es útil en un campo de investigación relacionado con la física y la química física.
Los estados vibratorios y electrónicos y las interacciones que tienen lugar entre ellos se estudian en el marco de la física molecular. La mayoría de las moléculas tienen simetrías específicas, por lo que el cálculo de estos estados puede reducirse considerando métodos teóricos grupales.
El cálculo de los estados moleculares y atómicos comienza con un modelo en el que los electrones se consideran partículas independientes. Se tienen en cuenta las simetrías geométricas de la molécula estudiada y los grupos de simetría relacionados.
Las operaciones de simetría llevan un cierto objeto a una nueva orientación equivalente a la anterior.
En la simetría de grupo de puntos, cinco operaciones de simetría espacial dejan un punto en el espacio fijo y se representan mediante matrices de transformación. Estas operaciones son:
Identidad [matemáticas] E [/ matemáticas], Reflexión [matemáticas] \ sigma [/ matemáticas],. Rotación alrededor de un eje [matemática] C_n [/ matemática], Rotación incorrecta [matemática] S_n [/ matemática] e Inversión (generalmente denotada por el símbolo i)
Aquí hay algunas aclaraciones más:
Las operaciones de simetría de una molécula (u otro objeto) forman un grupo , que es una estructura matemática generalmente denotada en la forma ( G , *) que consiste en un conjunto G y una operación de combinación binaria que dice ‘*’ que satisface ciertas propiedades enumeradas a continuación.
En un grupo de simetría molecular , los elementos del grupo son las operaciones de simetría ( no los elementos de simetría), y la combinación binaria consiste en aplicar primero una operación de simetría y luego la otra. Un ejemplo es la secuencia de una rotación [matemática] C_4 [/ matemática] alrededor del eje z y un reflejo en el plano [matemático] xy [/ matemático], denotado σ [matemático] (xy) [/ matemático] [ matemáticas] C_4 [/ matemáticas]. Por convención, el orden de las operaciones es de derecha a izquierda.
Un grupo de simetría molecular obedece las propiedades definitorias de cualquier grupo. […]
La aplicación (o composición ) sucesiva de una o más operaciones de simetría de una molécula tiene un efecto equivalente al de alguna operación de simetría única de la molécula. Además, el conjunto de todas las operaciones de simetría, incluida esta operación de composición, obedece a todas las propiedades de un grupo, dadas anteriormente. Entonces ( S , * ) es un grupo donde S es el conjunto de todas las operaciones de simetría de alguna molécula, y * denota la composición (aplicación repetida) de las operaciones de simetría. Este grupo se llama grupo de puntos de esa molécula, porque el conjunto de operaciones de simetría deja al menos un punto fijo. Para algunas simetrías, se fijan un eje completo o un plano completo.
La simetría de un cristal, sin embargo, es descrita por un grupo espacial de operaciones de simetría, que incluye traducciones en el espacio. […]
Las operaciones de simetría se pueden representar de muchas maneras. Una representación conveniente es por matrices.
Fuente: simetría molecular
Para obtener más información sobre este vasto tema, consulte los siguientes enlaces relevantes:
Simetría en mecánica cuántica
Teoría de grupo y física
Física de partículas y teoría de la representación.
Modelo estándar (formulación matemática)
Teoría de la representación del grupo galileo.
Teoría de la representación del grupo Lorentz.
