Si el modelo de universo 2D necesita acelerarse en el eje z para que un objeto forme bien la gravedad, ¿acelera el universo 3D en una cuarta dimensión?

Esta es precisamente la razón por la cual estos diagramas deben tratarse con cuidado. Dan la impresión de que la curvatura de un espacio 2D requiere que esté incrustado en un espacio 3D. Entonces parece que un espacio curvo 3D debe estar incrustado en un espacio 4D. Y luego todos se confunden porque los físicos también dicen en el mismo aliento que estamos tratando con el tiempo como la cuarta dimensión, entonces, ¿es el tiempo la dimensión en la que los otros se curvan? No, respondan los físicos, lo que queremos decir es que todo el espacio-tiempo 4D es curvo. Oh, preguntamos, ¿necesitamos un espacio 5D ahora?

Entonces no. Por favor, no tome estos diagramas demasiado en serio.

Ah, y por supuesto, además de la confusión de dimensiones que introducen, también parece que el camino del cometa se curva porque está “cayendo” en el pozo creado por el sol. Pero eso requeriría gravedad. Y estamos tratando de explicar la gravedad. ¿Y por qué el pozo está “abajo” en lugar de “arriba”, seguramente no hay una dirección privilegiada en el espacio-tiempo?

Entonces, no, no, no, super-no, por favor no tome estos diagramas demasiado en serio.

El hecho es que una superficie 2D puede ser intrínsecamente curva. No necesita estar incrustado dentro de una tercera dimensión. La curvatura aparece en un lugar muy específico: es cuando abandonas el quinto postulado de geometría de Euclides, el de las líneas paralelas.

Aquí están los postulados de Euclides:

  1. Se puede dibujar un segmento de línea recta uniendo dos puntos cualquiera.
  2. Cualquier segmento de línea recta puede extenderse indefinidamente en una línea recta
  3. Dado cualquier segmento de línea recta, se puede dibujar un círculo que tenga el segmento como radio y un punto final como centro.
  4. Todos los ángulos rectos son congruentes.
  5. Dada cualquier línea recta y un punto que no esté en ella, existe una y solo una línea recta que pasa por ese punto y nunca cruza la primera línea, sin importar cuán lejos estén extendidas.

Los primeros cuatro se ven hermosos y claros, pero ¿no te preocupa un poco la fealdad del último? Lo mismo hicieron todos los demás durante miles de años. Entonces trataron de probarlo de los otros cuatro. Pero no pudieron. Porque en realidad es posible encontrar otras geometrías donde se mantienen los otros cuatro postulados, pero ese último cambia. Llamamos a estas geometrías no euclidianas. En un tipo de geometría no euclidiana, no existen tales líneas (elípticas) y en el otro tipo de geometría hay muchas (hiperbólicas).

Son las geometrías a las que apelamos en la relatividad general. Notarás que no hay énfasis en las dimensiones o incrustación aquí. La curvatura de la que hablamos es una característica del espacio en sí (4D en el caso de la relatividad general, sin ningún requisito para que se incruste en ninguna dimensión superior).

Los diagramas son un intento bastante débil de dibujar en un espacio plano local, una impresión de cómo se ve un espacio curvo. La respuesta de Christian Benesch da un mejor diagrama. Hay otros. Mis favoritos son las inclinaciones del plano de Escher (esta es una representación del espacio hiperbólico).

Pero permítanme enfatizar nuevamente: todos los diagramas capturan algunas de las pocas características de las matemáticas de una geometría no euclidiana. Todos tienen el potencial de inducir a error en cierta medida. Tome las matemáticas en serio, no los diagramas.

Es una distorsión del espacio 3D.
La representación en el trampolín del pozo de gravedad es un poco engañosa, pero ilustra muy bien cómo funcionan las trayectorias de los planetas.

La distorsión real se parece más a esto:
(Todavía está sucediendo todo en el espacio 3D).

Fuente: fracción | Prachi Chourey
Crédito de la imagen: Christopher Vitale de Networkologies y el Instituto Pratt.

La pregunta parece referirse a la analogía de la “lámina de goma” que a menudo se usa para ilustrar el espacio-tiempo curvo de la relatividad.

Esta analogía es engañosa precisamente porque funciona solo porque a) la lámina de goma está incrustada en una tercera dimensión, yb) el modelo requiere una fuerza externa para derribar las cosas.

No, el espacio-tiempo curvo no funciona de esta manera. Hay dos diferencias cruciales.

Primero, lo único que importa es la curvatura “intrínseca”. No importa que la lámina de goma esté incrustada en un espacio dimensional superior. Más bien, observe la diferencia fundamental entre, por ejemplo, la superficie de una bola versus la superficie de un cilindro. Puedes formar un cilindro a partir de una hoja de papel. No puede cubrir una bola con una hoja de papel, porque necesita estirarla, y el papel no se estira.

Este estiramiento puede medirse sin referencia alguna a una tercera dimensión. Las criaturas bidimensionales que viven en una hoja bidimensional pueden medirla observando, por ejemplo, que los ángulos de sus triángulos ya no suman 180 grados.

Segundo, lo que hace que la gravedad “marque” no es una fuerza externa sino la ley de la inercia. En un espacio-tiempo sin estirar, significa que los objetos siguen líneas rectas. En un espacio-tiempo estirado (curvatura intrínseca distinta de cero) los objetos siguen la “geodésica”, que es una especie de generalización del concepto de líneas rectas.

Entonces, en respuesta a la pregunta, no se necesita una cuarta dimensión (en realidad, quinta; el tiempo generalmente se considera la cuarta coordenada) para modelar la gravedad en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones que surge como resultado de a) curvatura intrínseca yb) la idea de que libera Las partículas siguen a la geodésica.

La imagen en la pregunta es una gráfica, de 2d espacio y una vertical como potencial gravitacional. Dado que una escala de altura es realmente un potencial gravitacional (en un sentido diferente), puede usarla como una mesa de billar y seguir la trayectoria de las bolas golpeadas en la mesa.

Claro, es curvo, pero no es así como funciona la gravedad. En realidad es un poco más sutil que esto.

Todo el espacio es curvo, y no necesita dimensiones adicionales para hacerlo curvo. Recto en general significa “dividir el perímetro en pulgadas” en lugar de “dividir el perímetro en grados”.

Si toma una tela grande y coloca un pequeño anillo de metal en el medio, diga aproximadamente el tamaño de una moneda pequeña. Ahora marque un círculo cuyo radio es el diámetro del anillo. Tire de la tela en este anillo, de modo que el círculo marcado coincida con el anillo (hay el doble de tela que el anillo).

Esta es la curvatura real de la gravedad. El anillo representa un agujero negro, típicamente del tamaño de un planeta, y la tela está distorsionada por “la curvatura del espacio”.

Ahora, si imaginamos que la tela está en tensión, hay más fuerza en la dirección de la tela, y notamos que el radio efectivo de un círculo ahora aumenta en r = GM / c². Entonces, si calcula la tensión en un punto a la distancia R, hay un poco más de atracción hacia los círculos más pequeños que hacia los círculos más grandes, y g = GM / (R + r) ² se obtiene con bastante facilidad de este modelo.

r es realmente pequeño para la mayoría de las masas, tienes 4,435028 mm para la tierra y 1476,625 metros para el sol. La luz que pasa cerca de una masa es desviada por nr / R (donde n es algún número), y R es la aproximación más cercana de la luz. nr / R puede detectarse débilmente con algunas fotografías difíciles, y la prueba del eclipse de 1911 en Tahati es donde realmente se observó.

Es un mal diagrama. No se trata del eje az, sino del eje que se muestra. Lo que significa que la superficie del espacio se gira con el tiempo. Entonces, cuanto más te acercas al sol, el tiempo más lento parece fluir con respecto a un observador distante.

Un diagrama aún peor es el que suelen mostrar para los agujeros de gusano, donde te dejan con la falsa impresión de que un agujero de gusano es de alguna manera un túnel fuera del universo y luego vuelve a entrar, en lugar de un túnel a través del espacio-tiempo ordinario.

No.

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