En QFT, ¿por qué discutimos la causalidad con el conmutador? ¿Cómo explica el conmutador de dos campos la causalidad? Tales como [f (x), f (y)] = 0 …

Si tengo [matemática] [A, B] = 0 [/ matemática] y [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática] están separadas por espacio (la luz no puede viajar entre las dos mediciones), luego medir [matemática] A [/ matemática] antes de [matemática] B [/ matemática] o [matemática] B [/ matemática] antes de [matemática] A [/ matemática] no cambia mi resultado; por lo tanto, están separados por espacios y no conectado casualmente (por una onda de luz).

Seamos más sucintos:

[matemática] [\ phi (x), \ phi ^ \ dagger (y)] = 0 \ qquad \ text {if} (x – y) ^ 2 <0 [/ math]
o si se separa como un espacio.

Por otro lado, es claramente cierto que si las dos mediciones en el espacio no estuvieran separadas por el espacio, esperábamos
[matemáticas] \ langle \ psi | \ phi (x) \ phi ^ \ daga (y) | \ psi \ rangle \ neq 0 [/ math]
porque se pueden conectar casualmente (esta es la función de correlación, que representa correlaciones entre campos). En otras palabras, el valor del campo en diferentes puntos se puede conectar ya que sus conos de luz podrían cruzarse.

En este contexto, f (x) yf (y) son observables, es decir, operadores hermitianos. Representan el campo en ubicaciones de espacio-tiempo x e y. Entonces, si está en x, puede realizar una medición en la base propia del operador f (x). Alguien más en y puede realizar una medición en la base propia del operador f (y). Suponga que desea transmitir información a la persona en y. Para transmitir un 1, realiza su medición. Para transmitir un 0 no haces nada. Entonces la persona en y realiza su medición. Si x e y están separados en forma de espacio, será mejor que la distribución de probabilidad sobre los resultados de su medición en y sea la misma, independientemente de si elige hacer su medición en x. De lo contrario, podría transmitir señales a intervalos de espacio similar. Esto viola la causalidad y podría usarse para crear paradojas del abuelo, etc. Se puede demostrar que las estadísticas de resultados para la medición de f (y) serán independientes de si se realizó una medición de f (x) si y solo si f (x) yf (y) conmutan. La prueba no es demasiado difícil, al menos en espacios de Hilbert de dimensiones finitas. Por alguna razón, la mayoría de los libros de texto de teoría cuántica de campos no discuten esto en detalle.

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