Diría que la razón más básica por la que un físico querría aprender algo de teoría de categorías es que la teoría de categorías es un lenguaje unificador para las matemáticas, y por supuesto, muchas ramas de las matemáticas son dominantes en la física.
Por ejemplo, hay una rama de la física llamada teoría de campo cuántico topológico, o TQFT. Como su nombre indica, tiene mucho que ver con la topología, que tiene que ver con las propiedades estructurales del espacio (¡o el espacio-tiempo!). También tiene mucho que ver con los espacios de Hilbert, como hacen casi todas las teorías de la mecánica cuántica. La perspectiva categórica es que TQFT involucra a functors * de una categoría de cobordismos ** a una categoría de espacios de Hilbert. ***
Creo que es posible investigar en TQFT sin conocer la teoría de categorías, pero ¿por qué querrías hacerlo cuando hay una formulación matemática tan hermosa disponible?
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* Los functores son mapas entre categorías.
** Los coordismos son múltiples de una dimensión dada equipados con dos múltiples límites elegidos de dimensión uno menos. Tienen aplicaciones en física, donde, por ejemplo, los dos colectores de límites modelan estados iniciales y finales de algún sistema físico dinámico, y el colector intermedio de dimensiones mayores modela la evolución de ese sistema a través del tiempo.
*** Los espacios de Hilbert se utilizan en la mecánica cuántica para modelar la colección de todos los estados cuánticos posibles de un sistema físico.