¿Por qué un físico debe aprender teoría de categorías?

Diría que la razón más básica por la que un físico querría aprender algo de teoría de categorías es que la teoría de categorías es un lenguaje unificador para las matemáticas, y por supuesto, muchas ramas de las matemáticas son dominantes en la física.

Por ejemplo, hay una rama de la física llamada teoría de campo cuántico topológico, o TQFT. Como su nombre indica, tiene mucho que ver con la topología, que tiene que ver con las propiedades estructurales del espacio (¡o el espacio-tiempo!). También tiene mucho que ver con los espacios de Hilbert, como hacen casi todas las teorías de la mecánica cuántica. La perspectiva categórica es que TQFT involucra a functors * de una categoría de cobordismos ** a una categoría de espacios de Hilbert. ***

Creo que es posible investigar en TQFT sin conocer la teoría de categorías, pero ¿por qué querrías hacerlo cuando hay una formulación matemática tan hermosa disponible?

* Los functores son mapas entre categorías.

** Los coordismos son múltiples de una dimensión dada equipados con dos múltiples límites elegidos de dimensión uno menos. Tienen aplicaciones en física, donde, por ejemplo, los dos colectores de límites modelan estados iniciales y finales de algún sistema físico dinámico, y el colector intermedio de dimensiones mayores modela la evolución de ese sistema a través del tiempo.

*** Los espacios de Hilbert se utilizan en la mecánica cuántica para modelar la colección de todos los estados cuánticos posibles de un sistema físico.

El álgebra abstracta (especialmente la teoría de grupos) y muchos otros campos de las matemáticas que posiblemente se vean mejor desde el punto de vista teórico de la categoría se usan en física. Quizás comprender las matemáticas desde la perspectiva “adecuada” podría generar más información.

Ya se está haciendo algo de física en términos de teoría de categorías, en particular la mecánica cuántica categórica. Sin embargo, es cierto que pocos físicos trabajan en esto.

Finalmente, usamos matemáticas de todo tipo para hacer física. Algunos incluso creen que las matemáticas son esencialmente una realidad matemática. El punto es que es difícil saber cuándo una pieza abstracta de matemáticas podría ser útil para un físico.

“Debería” podría ser una palabra demasiado fuerte. Si desea estudiar los fundamentos de la mecánica cuántica y la teoría de cuerdas, el enfoque categórico es una opción interesante. John Baez es uno de los defensores de aplicarlo a la física de alta energía. Puede encontrar algunas de sus charlas en YouTube. Pero es mucho un trabajo en progreso. Todavía no sabemos cómo unificar la gravedad con el resto de las interacciones, por lo que los físicos están intentando todo.

Para una divulgación completa, debo confesar que sé muy poco sobre la teoría de categorías. Lo poco que sé me dice como laico, tanto para las matemáticas como para la física, que podría ser de vital importancia para un físico pensante, que creo que usted es.

No puedo decirte específicamente cómo podría ser útil para la física. Solo que tengo una intuición muy fuerte sobre esto, y por el hecho de que hiciste esta pregunta, creo que también debes hacerlo. ¿Recuerdas la intuición? Creo que los físicos de hoy no lo usan lo suficiente. Pero Einstein somos grandes en la intuición, así que eso dice algo .

Bien, quieres algo casi específico sobre la teoría de categorías. Lo probaré. La física de hoy está abrumada por las matemáticas, todas muy abstractas y al menos algunas de ellas aplicadas erróneamente a la física de una manera que lleva a los físicos por el camino del jardín proverbial a un laberinto del que la mayoría nunca regresa. Es hora de una nueva perspectiva y relación con las matemáticas.

La teoría de categorías podría señalar el camino. En mi opinión, lo que dice en el nivel más fundamental es que los números subyacentes y todas sus trampas residen en una realidad más fundamental: la información y la forma en que la información media entre las partes y todos. La teoría de categorías tiene el potencial de lograr la comprensión en este nivel de realidad – – – en un nivel muy fundamental. ¿Pueden todos los números reales y complejos o todas las ecuaciones arcanas utilizadas en física hoy hacer lo mismo?