¿Cómo aparecería un agujero negro en el cielo a la luz del día si está cerca de la tierra (suponiendo que no esté demasiado cerca)?

A la luz del día, no notarías un agujero negro en absoluto (considerando que el sol todavía está allí), porque la luz del sol se dispersa cuando ingresa a nuestra atmósfera y todo el cielo parece azul. Los agujeros negros no emiten luz, tampoco reflejan la luz como la luna. Así que realmente no lo notarías durante el día.

Por la noche, se pueden ver los efectos de la lente gravitacional. La luz proveniente de las estrellas detrás del agujero negro se doblará y eso será bastante notable, y la vista será bastante espectacular.

Sin embargo, el disco de acreción podría ser visible si el agujero negro está lo suficientemente cerca (con esto quiero decir que hay pocas unidades astronómicas lejos de la Tierra), pero en tal escenario, la Tierra no tendrá mucho tiempo. La Tierra se romperá por las fuerzas de marea, si se trata de un pequeño agujero negro. Irónicamente, los agujeros negros más pequeños tienen fuerzas de marea más altas cerca de su horizonte de eventos, lo que significa que la porción del planeta que mira hacia el agujero negro experimenta una atracción gravitacional más alta que el lado opuesto, lo que lleva al planeta a desgarrarse. Los agujeros negros más grandes ejercen menores fuerzas de marea.

No parecería, algo así como la luna no aparece si el sol está del otro lado. Si hubiera uno junto a la luna, podríamos ver que la luna no orbita nada cuando la luna está iluminada.

Bueno, como un agujero negro no emite luz, no. Incluso de noche, es posible que apenas vea el disco de acreción si está lo suficientemente lejos como para no causar ningún daño.

Un agujero negro siempre será el más oscuro de la oscuridad porque la luz no puede escapar de él.

no podría verlo, no emite ni refleja luz, por lo que no hay que verlo.