Si la densidad es constante, ¿cuál es la relación entre la masa y la velocidad terminal?
La respuesta de Jack es, por supuesto, correcta, pero es posible abordar al menos parcialmente el espíritu de la pregunta.
Comencemos haciendo un par de suposiciones más:
- Se mantienen dos cargas positivas iguales en los puntos A y B y se estudia el potencial eléctrico en los puntos entre A y B. Si bien pasar del potencial A al B primero disminuirá y luego aumentará, ¿por qué?
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- A medida que escala la masa hacia arriba y hacia abajo, el objeto mantiene la misma forma geométrica y cae en el mismo ángulo (aerodinámicamente estable).
Como Jack mencionó, incluso el mismo objeto puede tener diferentes velocidades terminales si cae en diferentes ángulos, por lo que debemos controlar esto. Por razones similares, debemos asegurarnos de que solo estamos tratando con versiones más grandes o más pequeñas de la misma forma general.
- La viscosidad del aire no es importante.
Esto debería ser cierto para la atmósfera de la Tierra, excepto para objetos muy pequeños.
Bien, entonces, con esas limitaciones en la mano, podemos hacer la pregunta: ¿cuáles son las fuerzas relevantes y de qué pueden depender? Claramente, tenemos una fuerza descendente de la gravedad, [matemáticas] mg [/ matemáticas]. También tenemos una fuerza de arrastre hacia arriba desde el aire cuando el objeto cae.
¿De qué podría depender la fuerza de arrastre?
- La densidad del aire, [math] \ rho_ \ text {air} [/ math].
- El tamaño del objeto, que describiremos en términos de su escala lineal, [math] L [/ math]. Esto puede ser cualquier propiedad de la forma, siempre que se ajuste a las distancias lineales entre las partes del objeto. (Por ejemplo, para una esfera, [matemática] L [/ matemática] podría ser el radio, o el diámetro, o la circunferencia, o la raíz cuadrada del área de superficie, o la raíz cúbica del volumen dentro de una [matemática] 30 ^ \ circ [/ math] cono con vértice en el centro … no importa)
- La velocidad [matemática] v [/ matemática] a la que el objeto se mueve por el aire.
Realmente no puede depender de nada más. La geometría específica importa, por supuesto, pero el impacto no puede depender de la escala, porque no hay escalas físicamente relevantes en el problema; simplemente podemos acercar / alejar hasta que coincidan los tamaños de los objetos.
Entonces, ahora que tenemos esto, ¿qué podemos hacer? Bueno, definamos un coeficiente de arrastre [matemática] A [/ matemática], que es un valor constante adimensional determinado solo por la geometría y la orientación del objeto, no su escala. Nuestra fuerza de arrastre dependerá de esto, así como de las tres cantidades anteriores, de alguna manera desconocida:
[math] F_ \ text {drag} = A \ rho_ \ text {air} ^ a L ^ bv ^ c [/ math]
donde los exponentes [matemática] a, b, c [/ matemática] son desconocidos. Pero, crucialmente, sabemos que la combinación anterior debe tener unidades de fuerza:
[matemáticas] \ begin {align *} [\ text {kg}] ^ 1 [\ text {m}] ^ 1 [\ text {s}] ^ {- 2} & = \ frac {[\ text {kg} ] ^ a} {[\ text {m}] ^ {3a}} [\ text {m}] ^ b \ frac {[\ text {m}] ^ c} {[\ text {s}] ^ {c }} \\ & = [\ text {kg}] ^ a [\ text {m}] ^ {- 3a + b + c} [\ text {s}] ^ {- c}. \ end {align *} [/ math]
Después de un poco de álgebra, obtenemos que
[math] F_ \ text {drag} = A \ rho_ \ text {air} L ^ 2 v ^ 2. [/ math]
La velocidad terminal [matemática] v_t [/ matemática] es donde esta fuerza equilibra exactamente la fuerza de la gravedad:
[matemáticas] \ begin {align *} A \ rho_ \ text {air} L ^ 2 v_t ^ 2 & = mg \\ v_t & = \ frac {1} {L} \ sqrt {\ frac {mg} {A \ rho_ \ text {air}}} \\ v_t & \ propto \ frac {\ sqrt {m}} {L} \ end {align *} [/ math]
ya que todo lo demás aquí se mantiene constante. Además, dado que la densidad es constante, [math] m \ propto L ^ 3 [/ math], y obtenemos
[matemáticas] v_t \ propto m ^ {1/6}. [/ matemáticas]
Nuevamente, este es un análisis algo simplificado, pero al menos da lo que espero sea una primera aproximación decente de lo que está buscando.
