¿Cuál es la diferencia entre la mecánica lagrangiana y la mecánica newtoniana?

La mecánica newtoniana comienza con las tres leyes, pero matemáticamente, la importante es [matemáticas] F = m \ ddot {x}. [/ Matemáticas] Cuando Newton descubrió las leyes del movimiento, no tenía idea de la mecánica lagrangiana (de hecho, Lagrange llegó casi 50 años después de su muerte), por lo que en ese momento, las leyes eran esencialmente leyes empíricas. Entonces, cuando aprendes sobre ellos, generalmente solo te dicen que F = ma es cierto.

La mecánica lagrangiana parte de un principio más profundo y a través del cual, puedes derivar las leyes de Newton. Comenzamos con una función escalar de posición y velocidad (en función de la posición) que básicamente codifica posibles rutas en el espacio (por lo que también debe agregar un punto de inicio y un punto final). La mecánica lagrangiana luego pregunta: “Tengo todos estos caminos posibles en el espacio, ¿cómo selecciono un camino que sea físicamente correcto?”

Entonces ahora definimos un funcional (básicamente una función cuya entrada es ahora una función, versus un número o un vector) [matemáticas] S = \ int {Ldt}. [/ matemáticas] donde nos integramos con el tiempo. En la mecánica lagrangiana, minimizar esta función (con respecto a la ruta, así que con respecto a x (t)) responde a la pregunta de qué ruta es físicamente correcta. Al hacerlo, aparecen las ecuaciones de movimiento.

Además, para muchos problemas, el uso de la formulación lagrangiana facilita las cosas. Con las ecuaciones de Newton, tienes que lidiar con vectores para tener cantidades y direcciones con las que lidiar. Sin embargo, el lagrangiano es escalar, por lo que no tiene que seguir las indicaciones.

Es similar a la diferencia entre mirar el Gran Cañón desde un helicóptero sobre el cañón y mirarlo desde un bote que desciende en balsa por el río.

Estás viendo exactamente lo mismo. Todo lo que afecta es lo fácil que es ver las diferentes partes.

La analogía se rompe principalmente porque, en principio, puedes ver toda la mecánica clásica desde los puntos de vista newtoniano o lagrangiano, mientras que si estás mirando el gran cañón, hay partes que simplemente no puedes ver desde algunos puntos de vista. En la práctica, sin embargo, la analogía funciona bastante bien.

La mecánica newtoniana opera en términos de fuerzas y la mecánica lagrangiana / hamiltoniana opera en términos de energías. Obviamente están relacionados en que ambos describen la naturaleza. Puede pensar que la relación es que las fuerzas indican cómo fluyen las energías en el sistema.

La mecánica newtoniana es de aplicación práctica más general en la medida en que puede incluir fricción con bastante facilidad.

Supongo que puede incluir la fricción en un marco lagrangiano / hamiltoniano, pero sería abrumadoramente complicado y no valdría la pena el esfuerzo.

La cuestión es que la mecánica newtoniana está incorporada en la mecánica lagrangiana. La mecánica lagrangiana es un marco completo en sí mismo, con otra forma que es la formulación hamiltoniana. Puede tener todo tipo de sistemas diferentes y hacer una L lagrangiana para ello y siempre obtendrá las ecuaciones de movimiento para estos sistemas, con su propio conjunto de reglas / leyes. Resulta que si tienes un sistema, que es un marco de referencia inercial (estos son los sistemas newtonianos), entonces las ecuaciones de movimiento se parecen a las ecuaciones de movimiento de Newton, para otros sistemas se ven diferentes, por lo que es solo un caso especial de la misma. La mecánica lagrangiana realmente es más fundamental que la ecuación de Newton, y no solo es que puedes resolver problemas más fácilmente con ella, sino que tiene esta propiedad de un marco que incorpora casi todos los sistemas que conocemos, el resto hace la formulación hamiltoniana que está muy relacionado

Todos son métodos matemáticos para resolver las mismas cosas. Pero implican diferentes tácticas. Hamilton implica la suma de una serie, Lagrange implica geometría newtoniana implica cálculo.
El que usa se debe en parte a la elección personal (es decir, en cuál es bueno), pero cada uno se aplica más fácilmente a ciertos problemas. Newtoniano es bueno para resortes y colisiones individuales. Lagrange para partículas de movimiento rápido y problemas más complicados. Hamilton probablemente por nubes de polvo.
Todos se usan en matemáticas aplicadas. Eso debería darte una visión general.

No solo lo anterior, hay muchas mecánicas en física, incluida la mecánica estadística, cuántica. Todo describe el movimiento del sistema que nos interesa. Aquí estas clasificaciones significaban dimensión, coordenadas y varios tipos de interacción en la fuerza. En última instancia, su objetivo es obtener la ecuación de movimiento

Eche un vistazo al ejemplo aquí: Frameworks [The Physics Travel Guide]

Similitudes entre hamiltonianos y lagrangianos.