Si es un gran salto de fe asumir que las leyes deben tomar una forma elegante, tal vez debería considerar la siguiente declaración: El universo es altamente simétrico . La observación ha demostrado esto constantemente y cuanto más investigamos, más simetría descubrimos. La simetría restringe matemáticamente las formas que pueden tomar las leyes de la física.
Aquí hay un ejemplo de cómo funciona esto. Supongamos (en física clásica) que la fuerza gravitacional (un vector) del cuerpo 1 sobre el cuerpo 2 es una función de sus dos masas, seis coordenadas espaciales y la coordenada de tiempo actual, es decir, [math] f: \ mathbb { R} ^ 9 \ to \ mathbb {R} ^ 3 [/ math].
Hay muchas funciones diferentes, desde nueve reales hasta tres reales. Puedes hacer uno tan complicado como quieras. Pero la ley de gravitación de Newton es, por el contrario, extremadamente simple: [math] \ mathbf {F} = -G m_1 m_2 \ frac {\ hat \ mathbf {r}} {r ^ 2} [/ math]. (Tenga en cuenta que el vector unitario [math] \ hat \ mathbf {r} [/ math] y la distancia al cuadrado [math] r ^ 2 [/ math] son funciones de las seis coordenadas). ¿Por qué es esto?
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Observamos lo siguiente:
- La ecuación correcta no puede contener el tiempo en absoluto, ya que el universo parece ser invariable bajo la traducción del tiempo.
- La fuerza tiene que ser proporcional a [math] m_1 [/ math]. Puede ver esto porque si combina dos copias del cuerpo 1, entonces su efecto debería ser el doble del efecto de una copia, y realmente no hay diferencia entre dos cuerpos de masa [matemáticas] m_1 [/ matemáticas] y un cuerpo de masa [ matemáticas] 2m_1 [/ matemáticas] de todos modos, porque toda la materia está compuesta de pequeñas partículas de todos modos. Un argumento similar muestra que también tiene que ser proporcional a [math] m_2 [/ math].
- En este punto, ya sabemos que la ley de fuerza debe tomar la forma [math] \ mathbf {F} = m_1 m_2 \ mathbf {f} (x_1, y_1, z_1, x_2, y_2, z_2) [/ math]. Ahora invocamos invariancia traslacional : la fuerza tiene que permanecer igual si todo lo que hacemos es cambiar nuestro marco de referencia moviéndonos sin cambiar la dirección en la que estamos mirando. Eso nos da [math] \ mathbf {f} (\ mathbf { x} _1, \ mathbf {x} _2) = \ mathbf {f} (0, \ mathbf {x} _2 – \ mathbf {x} _1) [/ math], donde [math] \ mathbf {x} _1 [ / math] es la abreviatura de [math] (x_1, y_1, z_1) [/ math], y así sucesivamente. Por lo tanto, la forma correcta para [math] \ mathbf {f} [/ math] debe ser una función del desplazamiento solo.
- Ahora ya sabemos que la ley de fuerza tiene la forma [math] \ mathbf {F} = m_1 m_2 \ mathbf {g} (d_x, d_y, d_z) [/ math], donde [math] d_x = x_1 – x_2 [/ matemáticas] y así sucesivamente. En este punto aplicamos invariancia rotacional . La magnitud de la fuerza no puede cambiar si solo giramos nuestro marco de referencia, lo que significa que podemos rotarlo a una posición donde el desplazamiento del cuerpo 2 al cuerpo 1 se encuentre a lo largo del eje x positivo. Por lo tanto, vemos que [math] g [/ math], la magnitud de [math] \ mathbf {g} [/ math], debe ser una función de la distancia sola . (Esto es más claro si se transforma en coordenadas esféricas; la rotación le permite obtener [matemática] d_ \ theta = d_ \ phi = 0 [/ matemática] mientras deja [matemática] r [/ matemática] o [matemática] \ rho [/ matemática] sin cambios.)
- Habiendo obtenido que la magnitud de la fuerza es [math] F = m_1 m_2 h (r) [/ math] para alguna función [math] h: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} [/ math], nosotros Puede preguntar sobre la dirección. Cuando nuestro marco de referencia gira de tal manera que el desplazamiento se encuentra a lo largo del eje x, ¡podemos aplicar nuevamente la invariancia rotacional para concluir que la fuerza debe, de hecho, estar también en el eje x! Si fuera en cualquier otra dirección, girar el sistema alrededor del eje x dejaría el sistema sin cambios mientras cambia la dirección de la fuerza al girar el vector de fuerza alrededor del eje x, lo que rompe la invariancia rotacional. Entonces concluimos que la fuerza siempre debe ser paralela al vector de desplazamiento.
- Habiendo llegado hasta aquí, tenemos [math] \ mathbf {F} = m_1 m_2 \ hat \ mathbf {r} h (r) [/ math]. Desafortunadamente, no puede deducir de este análisis simplificado que [matemática] h (r) = kr ^ {- 2} [/ matemática]. No puedo dar un argumento convincente de que no debería ser, digamos, [matemáticas] k / (r ^ 2 + r) [/ matemáticas] o [matemáticas] k \ exp (1 / r) [/ matemáticas]. Aún así, ¡mira cuán lejos hemos llegado! Hemos logrado tomar alguna función desconocida de nueve reales a tres reales y reducirla a una función desconocida de una real a una real, a veces una parte conocida. (Además, esa función es probablemente meromórfica). Entonces, incluso si no sabemos que [math] h (r) = -G r ^ {- 2} [/ math], tenemos una cierta garantía de simplicidad que es mucho, mucho mejor que cualquier cosa que podríamos haber obtenido sin tener en cuenta las simetrías del universo.
tl; dr : Porque todavía creen que el universo debería ser simétrico, y esto obliga a las leyes de la física a ser matemáticamente “simples”. Es decir, si considera que los hiladores, las álgebras de Lie y los tensores de curvatura son simples.
