Parece confuso, ¿verdad? Pero hay uno.
Suponga que llama al operador de intercambio [matemática] P [/ matemática]: entonces seguirá que [matemática] [P, H] = 0, [/ matemática] para cualquier hamiltoniano de un sistema de muchas partículas idénticas que preserva la simetría de intercambio.
Por lo tanto, dado que uno tiene: [matemática] \ frac {dP} {dt} = [P, H], [/ matemática] se deduce que el valor de P es una cantidad conservada, una constante del movimiento.
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P es un operador hermitaño y es fácil demostrar que también es unitario: por lo tanto, en principio es posible hacer una medición para determinar cuál es el valor de P en un sistema. Es un observable. Significa que los valores propios de P son constantes del movimiento. La evolución de un sistema no afecta el tipo de simetría de la función de onda, es decir, la ley de conservación asociada con la simetría de intercambio.
El movimiento estará restringido a uno de los subespacios del espacio completo de Hilbert asociado con un valor propio dado de P.
Por definición, por supuesto, sostendrá que [matemáticas] P ^ 2 = 1. [/ Matemáticas]
Todo esto se ve fácilmente con solo considerar un sistema de dos partículas, pero se puede generalizar sin demasiado esfuerzo en el caso de muchas partículas.
Hay algunas sutilezas relacionadas con los valores propios de P relacionados con la dimensionalidad del espacio en el que se define el hamiltoniano. Las cajas de 2 dimensiones y 1 dimensión son especiales. Pero en la dimensión 3 o superior, las únicas posibilidades para el valor de P son +1 y -1, por lo que puede tener estadísticas de Bose-Einstein o Fermi.
En la dimensión 2, puede tener estadísticas anyónicas, y en 1 dimensión, en realidad, no existen partículas indistinguibles. Las partículas siempre se pueden distinguir diciendo cuál está a la izquierda y cuál está a la derecha.
