Asumiré el conocimiento de los anillos y los ideales: ninguna de las definiciones es particularmente difícil y fácil de buscar.
Una de las definiciones (equivalentes) de un anillo Dedekind es un anillo sin campo en el que existe una factorización única de ideales. Es decir, dado cualquier ideal a, hay ideales primarios [matemática] p_1, …, p_n [/ matemática] tal que [matemática] a = p_1 ^ {r_1} … p_n ^ {r_n} [/ matemática].
Esto es casi exactamente, pero no del todo, como el teorema de factorización único para los enteros. El problema es que hay muchos anillos en los que no puedes factorizar elementos. El ejemplo habitual es [math] \ mathbb {Z} [\ sqrt {-5}] [/ math], porque tiene: [math] 6 = 2 * 3 = (1 + \ sqrt {-5}) (1 – \ sqrt {-5}) [/ math]. Uno verifica que [math] 2, 3, 1 + \ sqrt {-5}, 1 – \ sqrt {-5} [/ math] son todos “números primos” (no se pueden dividir más), y entonces obtienes dos factorizaciones distintas de 6.
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Los primeros algebraistas no se dieron cuenta de que esto era un problema: sospechamos que Fermat pensó que demostró su famoso último teorema al considerar las factorizaciones sobre las extensiones de los enteros, suponiendo que la factorización única se mantendría en esos anillos.
Una de las formas de evitar esto era considerar anillos en los que los ideales satisfacían factorizaciones únicas. Esto permitió que se probara el último teorema de Fermat para ciertos casos especiales: de manera extraña, la prueba final no provino de consideraciones en este sentido, sino de una perspectiva completamente diferente en relación con las curvas elípticas.
Si considera la factorización sobre los ideales, entonces el dilema causado por [math] \ mathbb {Z} [\ sqrt {-5}] [/ math] está resuelto, ya que [math] (6) = (2, 1 + \ sqrt {-5}) (3, 1 – \ sqrt {-5}) [/ math] es una factorización única. Mejor aún, la mayoría de los anillos que nos interesaría estudiar en teoría de números tienen esta propiedad. Es decir: los campos de números algebraicos (o, para ser más precisos, sus anillos de enteros) son anillos de Dedekind .
Omitiré las definiciones formales de un campo de número algebraico y su anillo de enteros aquí, pero hablando en términos generales (y omitiendo algunos detalles), son lo que obtenemos al unir números algebraicos (números complejos que satisfacen una ecuación [matemáticas] a_n x ^ n + … a_0 = 0 [/ math], donde a_i son números racionales) a los racionales y a los enteros. [math] \ mathbb {Z} [\ sqrt {-5}] [/ math] es un buen ejemplo. [math] \ mathbb {Z} [i] [/ math] es otra.
[math] \ mathbb {Z} [i] [/ math] es un ejemplo interesante por otra razón: es un PID (dominio ideal principal). Es decir, cada ideal tiene la forma (x) para alguna x en [math] \ mathbb {Z} [i] [/ math]. Pero lo que eso significa es que obtenemos una factorización única de elementos de [math] \ mathbb {Z} [i] [/ math] como consecuencia de la factorización única de ideales de [math] \ mathbb {Z} [i] [/ matemáticas]! Esto es generalmente cierto: si tenemos la suerte de tener un anillo Dedekind que es un PID, entonces es fácil ver que este anillo tiene una factorización única. Entonces, la factorización de ideales es realmente una generalización de la factorización de elementos, que se aplica en un entorno más amplio.
Saber esto puede ayudar a encontrar soluciones a las ecuaciones de diofantina. Por ejemplo, uno muestra que un número primo se puede escribir como un cuadrado de dos primos (es decir, [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 = p [/ matemática]) si y solo si [matemática] p \ equiv 1 \ mod 4 [/ matemáticas]. Una de las formas de probar esto es considerando la factorización en [math] \ mathbb {Z} [i] [/ math].