Esto se debe al teorema del límite central.
Declaración:
En la teoría de la probabilidad, el teorema del límite central ( CLT ) establece que, dadas ciertas condiciones, la media aritmética de un número suficientemente grande de iteraciones de variables aleatorias independientes, cada una con un valor esperado bien definido y una varianza bien definida, será aproximadamente normalmente distribuido, independientemente de la distribución subyacente.
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Prueba:
Para un teorema de tanta importancia fundamental para las estadísticas y la probabilidad aplicada, el teorema del límite central tiene una prueba notablemente simple que utiliza funciones características. Es similar a la prueba de una ley (débil) de grandes números. Para cualquier variable aleatoria, Y , con media cero y una varianza unitaria (var ( Y ) = 1), la función característica de Y es, según el teorema de Taylor,
donde o ( t ^ 2) es “pequeña notación o” para alguna función de t que va a cero más rápidamente que ( [matemática] t ^ 2 [/ matemática] )
Dejando que [math] Y_i [/ math] sea ( Xi – μ) / σ, el valor estandarizado de Xi , es fácil ver que la media estandarizada de las observaciones X 1, X 2,…, Xn
es
Por propiedades simples de funciones características, la función característica de la suma es:
de modo que, por el límite de la función exponencial ( ex = lim (1 + x / n ) n ) la función característica de Zn
es
Pero este límite es solo la función característica de una distribución normal estándar N (0, 1).
