¿Es la matriz de transformación DFT (o tal vez su inversa) lo que se conoce como la ‘base de Fourier’ en el aprendizaje del diccionario?

Primero tenga en cuenta que una base no es lo mismo que una matriz. Una base es un conjunto de vectores linealmente independientes de tamaño máximo para un espacio vectorial particular. Puede considerarlo como una “base” para un conjunto de coordenadas que representa de manera única cada vector en el espacio, ya que implica que todos los vectores pueden escribirse como una combinación lineal única de los vectores base. Una matriz contiene columnas que representan vectores. Como tal, puede interpretarse como una representación de un conjunto, y ese conjunto puede ser una base, pero no es realmente correcto decir que una matriz “es” una base.

“Base de Fourier” generalmente se refiere a un conjunto ortogonal de exponenciales complejos con frecuencia creciente (a veces se normaliza, pero no lo haré aquí). Por ejemplo, para una determinada clase de funciones definidas en el intervalo [matemáticas] x \ en [0,1] [/ matemáticas], la serie de Fourier es:

[matemáticas] \ {1, \ exp (i2 \ pi \ cdot 1 \ cdot x), \ exp (i2 \ pi \ cdot 2 \ cdot x),
\ puntos \}. [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que estas son funciones definidas en un continuo, por lo que no son “discretas”, lo que sugiere que no es lo mismo que la matriz de transformada de Fourier discreta (DFT). Sin embargo, están relacionados. La matriz [matemática] N \ veces N [/ matemática] (DFT) es la matriz [matemática] L [/ matemática] cuyas entradas son

[matemáticas]
L_ {jk} = \ exp \ left (i2 \ pi \ cdot (k-1) \ cdot \ frac {j-1} {N} \ right).
[/matemáticas]

Eso significa que la columna [math] k ^ {th} [/ math] de [math] L [/ math] es

[matemáticas]
\ begin {bmatrix}
\ exp (i2 \ pi \ cdot (k-1) \ cdot \ frac {0} {N})
\\
\ exp (i2 \ pi \ cdot (k-1) \ cdot \ frac {1} {N})
\\
\ exp (i2 \ pi \ cdot (k-1) \ cdot \ frac {2} {N})
\\
\ vdots
\\
\ exp (i2 \ pi \ cdot (k-1) \ cdot \ frac {N-1} {N})
\ end {bmatrix}
[/matemáticas]

Puede interpretar esto diciendo que la columna [math] k ^ {th} [/ math] de [math] L [/ math] es el vector obtenido al tomar el término [math] k ^ {th} [/ math] de la serie de Fourier (como se definió anteriormente) y muestreándola en los puntos

[matemáticas]
x_1 = \ frac {0} {N}, x_2 = \ frac {1} {N}, \ dots, x_N = \ frac {N-1} {N}.
[/matemáticas]

Entonces, la matriz DFT [matemática] N \ veces N [/ matemática] está hecha básicamente de columnas de una serie de Fourier truncada y discreta. Personalmente no he visto nada que llame a estos vectores la “base de Fourier”, pero realmente no lo consideraría incorrecto si alguien lo hiciera. Es el mismo concepto, ajustado por las propiedades de los espacios vectoriales dimensionales finitos. Pero solo para reiterar, “base” y “matriz” son conceptos diferentes.

Una nota final: a veces verás un conjunto de senos y cosenos llamado serie de Fourier. Esto es básicamente lo mismo que la serie exponencial compleja que definí anteriormente, debido a la fórmula de Euler:

[matemáticas]
\ exp (ix) = \ cos (x) + i \ sin (x)
[/matemáticas]