¿De dónde viene la mitad en la ecuación de movimiento [matemáticas] x (t) = \ frac {at ^ 2} {2} + t v_o + x_o [/ matemáticas]?

Hace más de un año hice esta pregunta y desde entonces creo que me di cuenta de lo que estaba haciendo mal en mi pregunta. Para referencia futura, simplemente intentaré hacer lo que estaba haciendo en primer lugar, es decir, derivar las ecuaciones básicas de movimiento (con aceleración constante) usando las ecuaciones básicas simples. Y para aquellos que se preguntan, realmente no sé por qué quería hacer esto, supongo que es solo una forma de desarrollar la intuición y ver de dónde se construyeron los fundamentos del cálculo.

Supongo que las dos ecuaciones son verdaderas, aunque es intuitivamente obvio que es el caso y se puede ver simplemente desde un gráfico. Una ecuación es: [matemática] x (t) = v_a t + x_0 [/ matemática] y la otra: [matemática] v (t) = en + v_0 [/ matemática] donde [matemática] v_a [/ matemática] es el velocidad media.
Si comenzamos con [math] x (t) = v_a t + x_0 [/ math] entonces podemos reescribir [math] v_a [/ math] como [math] v_a = \ frac {1} {2} (v_f + v_i ) [/ math] ahora esto puede simplificarse aún más usando [math] v (t) = at + v_0 [/ math], dando: [math] v_a = \ frac {1} {2} (a t_f + a t_i + 2v_0) [/ math] (aquí es donde me equivoqué en la pregunta, tomé la velocidad promedio en ningún intervalo de tiempo y simplemente cambié la aceleración, por eso la mitad nunca se manifestó). Si suponemos que [matemática] t_i = 0 [/ matemática] y [matemática] t_f = t [/ matemática] se simplifica a: [matemática] v_a = \ frac {1} {2} a t + v_0 [/ matemática ] Luego lo sustituimos en la ecuación [matemáticas] x (t) = v_a t + x_0 [/ matemáticas] dando: [matemáticas] x (t) = (\ frac {1} {2} a t + v_0) t + x_0 = \ frac {1} {2} en ^ 2 + v_0t + x_0 [/ math]. Cuál es, de hecho, la ecuación que se logra haciendo las siguientes operaciones (aunque sin el cálculo):
[matemáticas] \ int_ \! \; a \, \ mathrm {d} t = at + v_0 [/ math] y luego integrando nuevamente:
[matemáticas] \ int_ \! \; en + v_0 \, \ mathrm {d} t = \ frac {1} {2} en ^ 2 + v_0t + x_0 [/ math]. De este resultado podemos derivar las otras ecuaciones de movimiento bajo aceleración constante.

Por cierto, ahora me doy cuenta de que otra forma de explicar la mitad que aparece es ver simplemente que [math] v_a = (1 / 2t) a [/ math] donde vemos que obviamente solo tomará tiempo [math] t / 2 [/ math] para alcanzar la velocidad promedio (suponiendo una aceleración constante) ya que [math] t = 0 [/ math] la única velocidad es la velocidad inicial y en el tiempo [math] t [/ math] la velocidad sería [math] v_0 + en [/ math].

La forma más simple e intuitiva que puedo pensar en explicar esto es con un gráfico simple de velocidad vs tiempo.

Tome el área del triángulo y el rectángulo y obtendrá: vt + (1/2) vt. ¡Juega con el vt y listo! vt + (1/2) en ^ 2

El 1/2 si lo resuelve encontrando el área debajo de la curva proviene del área de un triángulo.

Comencemos asumiendo que [math] x_0 [/ math] inicial en el tiempo [math] t = 0 [/ math] con velocidad inicial [math] v_0 [/ math] y aceleración constante [math] a [/ math]. Deseamos calcular la posición [matemática] x (t) [/ matemática] en el momento [matemática] t [/ matemática].

Como tenemos una aceleración constante, el aumento de la velocidad es lineal. Esto se muestra como:

[matemáticas] v (t) – v_0 = \ int_0 ^ ta \, \ mathrm {d} t = en [/ matemáticas]
o [matemáticas] v (t) = v_0 + en [/ matemáticas]

Para calcular el cambio de posición, simplemente integre esto y obtenemos:

[matemáticas] x (t) – x_0 = \ int_0 ^ tv (t) \, \ mathrm {d} t = \ int_0 ^ t [v_0 + at] \, \ mathrm {d} t [/ math]
[matemáticas] x (t) – x_0 = v_0 t + \ frac {1} {2} en ^ 2 [/ matemáticas]

Reorganizando,

[matemáticas] x (t) = x_0 + v_0 t + \ frac {1} {2} en ^ 2 [/ matemáticas]

¡Espero que esto ayude! 🙂

Dejame ponertelo de esta manera. Un objeto tiene una acleración uniforme A para el tiempo t. En el período de tiempo t, ¿cuál fue su velocidad promedio? En el tiempo = 0, v = 0, en el tiempo = t, v = en. ¿Y qué es v en el tiempo = t / 2?