Solo parece oscilar en su primer armónico porque ahí es donde la cuerda es más fuerte y tiene el mejor factor de calidad (el tiempo de llamada más largo y la disipación más pequeña). Todos los armónicos están presentes, algunos son más fuertes que otros en función de lo rápido que tarda el armónico en sonar.
Esta es una imagen realmente genial de algunas simulaciones para identificar armónicos en un objeto específico, del cual hablaré en esta respuesta. También es un clickbait para que pueda obtener vistas porque es majestuosamente bonita.
Todas las respuestas son geniales, pero creo que faltan partes de la pregunta. Esto no tiene nada que ver con la cadena en sí, pero se trata de factores de resonancia y calidad. Un concepto muy simple en resonadores mecánicos. Hablemos de un ejemplo realmente común usando un teorema que siempre me confunde.
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El teorema de disipación de fluctuación (FDT)
El teorema de fluctuación-disipación (FDT) se utiliza en física estadística para modelar el comportamiento de los sistemas termodinámicos [1]. Los sistemas termodinámicos de interés se clasifican por su disipación irreversible del calor de la energía generada por fluctuaciones térmicas aleatorias (ruido térmico browniano). El FDT establece que la respuesta de un sistema debido a una breve fuerza aplicada es la misma que su respuesta a las fluctuaciones espontáneas. Por lo tanto, la importancia es la conexión entre la relajación de respuesta transitoria de un sistema a sus fluctuaciones estadísticamente aleatorias en el equilibrio. Usando un láser de perfil Gaussiano incidente en los rendimientos del sustrato
[matemáticas] S_x (f) = \ frac {2k_b T \ phi_ {eff} (1- \ sigma)} {\ pi ^ {3/2} fw Y} [/ matemáticas]
para el ruido térmico [2].
- [matemática] S_x (f) [/ matemática] es la densidad espectral de potencia
- [matemáticas] T [/ matemáticas] es la temperatura
- [math] \ sigma [/ math] es la relación de Poisson del sustrato
- [matemática] w [/ matemática] es el ancho del láser de perfil gaussiano
- [math] \ phi_ {eff} [/ math] es el ángulo de pérdida efectivo del sustrato
Por lo tanto, el FDT nos dice que el ruido inyectado en un modo debido a fluctuaciones térmicas es proporcional al nivel de disipación de energía fuera de ese modo debido a la fricción [3]. El factor de calidad, o [matemática] Q [/ matemática], es una medida de la disipación de la energía de un modo debido a la fricción interna. Por lo tanto, un factor de mayor calidad conduce a una menor disipación, lo que conduce a un menor ruido para una [matemática] T [/ matemática] dada.
¿Por qué nos importa Quality Factor?
Entonces, el factor de calidad tiene MUCHAS definiciones diferentes (lo que me agrava). Pero, estos son fáciles de entender si barre el sistema para caracterizar las funciones de transferencia utilizando ondas sinusoidales (conocido como el método Barrido sinusoidal ). Las parcelas resultantes se verán como la imagen de Jishnu a continuación
Para descubrir estos picos, aplicaríamos un ajuste lorentziano (una función que se parece a una gaussiana, pero tiene un pico más agudo que es más apropiado aquí) para determinar dos características principales:
- La frecuencia central. Esto nos dice qué armónico estamos viendo. Esto es [matemáticas] f_0 [/ matemáticas].
- El FWHM del pico. Esto nos dice el factor de calidad del modo, que nos dice mucha más información, como qué tan “fuerte” es el modo. Esto es [matemáticas] \ Gamma [/ matemáticas].
¡Estas dos cosas nos dirán todo lo que necesitamos saber para caracterizar cualquier objeto que observemos! Para un Lorentzian dado:
[matemáticas] y (f) = y_ {max} \ frac {(\ Gamma / 2) ^ 2} {(f-f_0) ^ 2 + (\ Gamma / 2) ^ 2} + \ text {stuff} [/ matemáticas]
Resulta que el factor de calidad se basa en un tiempo de llamada (cuánto tiempo tarda la resonancia en “sonar” o disiparse; vea la imagen, por ejemplo)
que se basa en la frecuencia y el factor de calidad!
[matemáticas] \ Gamma = \ frac {1} {\ tau} = \ frac {\ pi f} {Q} [/ matemáticas]
Aquí hay un ejemplo de cálculo:
Esta es una función de transferencia barrida a 37kHz. Hay dos picos a 37.0698 kHz y 37.0762 kHz. Si queremos asegurarnos de que incluso podamos ver estos picos, usamos el cálculo de ancho anterior para asegurarnos de que tenemos suficientes puntos. Se sabe que el factor de calidad es aproximadamente [matemático] Q \ sim 10 ^ 5 [/ matemático]. Esto nos da [matemática] \ Gamma \ aproximadamente 0.86 [/ matemática] Hz (¡coincide con lo que tenemos en el ajuste!), Entonces si queremos hacer un barrido de 20Hz sobre el objeto, necesitamos tener 24 puntos muestreados (20 / 0.86 [matemática] \ sim [/ matemática] 24).
Entonces, ¿cuál es la comida para llevar?
Hay mucha información, este es un tema bastante bien investigado y sigue siendo el foco de muchos experimentos en la actualidad. Imagine que golpear un objeto hará que vibre uniformemente en todas las frecuencias, algunos tienen factores de mejor calidad que otros, aquellos con factores de calidad terribles se disipan casi instantáneamente. Otros con factores de mejor calidad tardan más en disiparse y comenzarán a alcanzar su punto máximo (estos son los armónicos). Algunos tienen mejores factores de calidad que otros (estos son el orden de sus armónicos).
También hay diferencias basadas en:
- si toca o golpea un objeto una vez, donde golpea el objeto hace toda la diferencia. Siempre puede simplificar los supuestos golpeando un objeto en el centro
- si te entusiasma usar una corriente alterna u oscilaciones forzadas, entonces puedes elegir armónicos individuales (como he hecho anteriormente alrededor de 37 kHz) para ayudarte a estudiar más a fondo estos factores de calidad.
[1] Herbert Callen y Richard Greene. Sobre un teorema de la termodinámica irreversible.Physical Review, 86 (5): 702–710, 1952.
[2] Yu Levin. Ruido térmico interno en las masas de prueba de ligo: un enfoque directo. Physical Review D, 57 (2): 659–663, 1998. PRD.
[3] GM Harry, H. Armandula, E. Black, DRM Crooks, G. Cagnoli, J. Hough, P. Murray, S. Reid, S. Rowan y P. Sneddon. Ruido térmico de recubrimientos ópticos en detectores de ondas gravitacionales. Óptica aplicada, 45 (7): 1569-1574, 2006.
