¿Cómo puede el límite de una función continua ser el valor de la función?

Porque eso es lo que significa ser continuo.

Una función es continua en un punto [matemático] a [/ matemático] si para todo [matemático] \ epsilon> 0 [/ matemático] existe un [matemático] \ delta [/ matemático] tal que cuando la distancia entre [matemático] a [/ math] y otro punto [math] b [/ math] es menor que [math] \ delta [/ math] la diferencia de la salida de las funciones en [math] a [/ math] y [math] b [/ math] es menor que [math] \ epsilon [/ math]. O en matemática mano corta

[math] \ forall \ epsilon> 0 [/ math] [math] \ exist \ delta> 0 [/ math] st [math] d (a, b) <\ delta \ Rightarrow d (f (a), f ( b)) <\ epsilon [/ math]

Es decir, siempre puede acercarse lo suficiente al punto en cuestión de modo que su salida se acerque lo suficiente al valor de la función allí. O, en otras palabras, el límite es el mismo que el valor de la función en sí. También puede ir hacia otro lado y definir el límite en términos de un par épsilon / delta.

Satisface la definición del límite. La definición del límite está diseñada para ignorar el valor de la función en el punto donde se busca el límite. A continuación se muestra la famosa definición [matemática] \ delta [/ matemática] – [matemática] \ epsilon [/ matemática]:

Decimos [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to a} f (x) = L [/ math], si por cada [math] \ epsilon> [/ math] 0 podemos encontrar un [math] \ delta> 0 [/ math] tal que [math] 0 <| x - a | <\ delta [/ matemática] [matemática] \ implica [/ matemática] [matemática] | f (x) - L | <\ epsilon [/ math].

Esto significa que estamos interesados ​​en los límites de los valores de [math] x [/ math] en un intervalo de ancho [math] \ delta [/ math] en cualquier lado excluyendo [math] \ delta [/ math] ( tenga en cuenta la condición [matemática] 0 <| x - a | [/ matemática]). El valor [math] f (a) [/ math] está en el caso de que se defina fuera del alcance de la definición.