Si una rana está en un anillo circular de circunferencia 1 km y viaja 1 km por segundo y el anillo expande su circunferencia 10 veces por segundo, ¿llegará la rana a su punto original de partida?

Hablando en términos prácticos, la rana nunca llegará a su posición original si suponemos que el momento del salto de la rana es de 1 segundo (no es una mala suposición).

Además, tendremos que suponer que el anillo no tiene una velocidad angular para empezar. (de todos modos la respuesta será la misma)

En este escenario, la rana tiene que saltar en la dirección de la expansión, que es radialmente hacia afuera. Por lo tanto, simplemente podemos convertir esto en un problema en 1d. La distancia de la rana en algún tiempo entero ‘t’ es solo [matemática] d_f = \ frac {1} {2 \ pi} + v * t [/ matemática] (donde v = 1 km / s). Esta es la distancia de la rana, incluida su distancia desde el centro del anillo. Sin embargo, la distancia del anillo desde su posición original será [matemática] d_r = \ frac {10 ^ t} {2 \ pi} [/ matemática]. Esto es 10 veces el radio original.

Naturalmente, en t = 1, podemos ver que [matemáticas] d_f \ aprox 1.159154 .. [/ matemáticas] mientras que [matemáticas] d_r \ aproximadamente 1.519154. [/ Matemáticas] Por lo tanto, la rana nunca alcanzará el anillo.

Sin embargo, podemos llegar a una mejor conclusión si fuéramos tratados ‘t’ como una variable continua, pero aún asumiendo que el anillo no tiene ninguna velocidad angular para empezar. (Esta vez, esta suposición es necesaria para simplificar nuestro problema, déjenme explicar)

La expresión que requerimos es [math] \ frac {10 ^ t} {2 \ pi} = \ frac {1} {2 \ pi} + t [/ math]. Ahora, si solo tratamos de encontrar la solución de esta ecuación, hemos terminado. Para encontrar una solución, podemos recurrir al asistente de una computadora. Reescribiendo la ecuación anterior como

[matemáticas] 10 ^ t – 2 \ pi t – 1 [/ matemáticas]

Necesitamos ver si la ecuación anterior cruza el eje x o, de manera equivalente, la línea y = 0.

Pude trazar esto con unas pocas líneas de código en python. (proporcionaré el código a continuación). Podemos verlo claramente cruzando el eje x en algún valor (no importante). El punto importante es tener en cuenta que, si la rana fuera un ser ultra inteligente, podría haber hecho todo este cálculo y cronometrado exactamente su salto al valor correcto de ‘t’. Entonces, técnicamente sí, la rana puede volver a su posición original.

Sin embargo, lamentablemente para la rana, se le acabará la suerte.

Supuestos clave a tener en cuenta:

  1. Asumimos que la expansión es un proceso continuo.
  2. El anillo no tiene velocidad angular para empezar.

código de python:

  importar numpy como np
 importar matplotlib.pyplot como plt
 x = np.linspace (0,1,100)
 y = potencia np (10, x) - 2 * np.pi * x - 1
 plt.figure ()
 plt.plot (x, y)
 plt.hlines (0,0,1)
 plt.show ()

Finalmente, creo que este problema será bastante si hubiera una velocidad angular inicial. Ahora tendríamos que tener en cuenta la velocidad tangencial de la rana a medida que salta. Muy interesante no !!

Usemos el movimiento angular de la rana para entender esto. Inicialmente, la velocidad angular de la rana es [matemática] 2 \ pi rad s ^ {- 1} [/ matemática] lo que significa que puede cubrir exactamente un círculo completo en un segundo.

Ahora, a medida que el radio aumenta en un factor de [matemática] m [/ matemática], la velocidad de la rana permanece constante. Esto significa que la velocidad angular de la rana debe disminuir en un factor de [math] m [/ math].

Ahora, el factor [math] m [/ math] en sí mismo varía con el tiempo, comenzando con 1 y llegando a ser 10 veces el valor después de cada 1 segundo. Entonces, [matemáticas] m (t) = 10 ^ t [/ matemáticas] es una función del tiempo.

Por lo tanto, la velocidad angular de la rana es:
[matemáticas] \ omega (t) = \ frac {2 \ pi} {10 ^ t} = 2 \ veces \ pi \ veces 10 ^ {- t} [/ matemáticas]

Ahora, esto cae bastante rápido. Así de rápido:

(Eje Y: velocidad angular en radianes por segundo, eje X: tiempo en segundos)

Ahora, el ángulo total que la rana ha girado alrededor del anillo viene dado por la integral de tiempo de este número desde t = 0. En otras palabras,

[matemáticas] \ theta = \ int_0 ^ t 2 \ pi10 ^ {- t} dt [/ matemáticas]

[matemática] \ Rightarrow \ theta = [- \ frac {2 \ pi]} {ln10} 10 ^ {- t}] _0 ^ t [/ math]

Y esto toma el valor:

[matemáticas] \ theta (t) = \ frac {2 \ pi} {ln10} \ times (1 – 10 ^ {- t}) [/ matemáticas]

Que se traza a continuación:

(Eje Y: ángulo en radianes; eje X: tiempo en segundos)

Claramente, tu rana mágica logra llegar a aproximadamente 2.73 radianes antes de que la expansión del anillo haga que cualquier movimiento posterior sea insignificante. En grados, cubre unos 156 grados.

La línea punteada sobre el gráfico muestra la marca [radiante] matemática 2 \ pi [/ matemática], que la rana tendría que alcanzar para completar un círculo completo en el cable. Claramente, maneja alrededor de cinco doceavos de esa distancia antes de que sus saltos se vuelvan insignificantes antes de la expansión exponencial del cable.

Nunca subestimes el crecimiento exponencial, incluso si eres una rana supersónica.

A medida que el anillo se expande, si la rana continúa sentada en ese punto fijo de este anillo, continúa alejándose de su posición inicial a medida que aumenta el radio del círculo. Podemos encontrar la tasa de expansión del radio a partir de la tasa de expansión dada del área del círculo.

Tasa de expansión del área –

[matemáticas] A_f = 10A_i [/ ​​matemáticas] en 1 segundo

[matemáticas] \ dfrac {A_f-A_i} {∆t} = \ dfrac {9A_i} {1} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {dA_i} {dt} = \ dfrac {d} {dt} (πr ^ 2) = 2πr \ dfrac {dr} {dt} = \ dfrac {9A_i} {1} [/ math]

[matemáticas] \ dfrac {dr} {dt} = \ dfrac {9πr ^ 2} {2πr} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {dr} {dt} = \ dfrac {9} {2} r [/ matemáticas]

Por lo tanto, la velocidad a la que la rana se aleja radialmente de su posición actual depende de su posición inicial (radio [matemática] r [/ matemática] del círculo al inicio)

Ahora, al comienzo, el círculo tiene una circunferencia de 1 km, por lo tanto, el radio inicial es [math] r = \ dfrac {1} {2π} [/ math] km

Sustituya este valor en [math] \ dfrac {dr} {dt} [/ math]

[math] \ dfrac {dr} {dt} = \ dfrac {9} {2} (\ dfrac {1} {2π}) = \ dfrac {9} {12.56} [/ math] km

Por lo tanto, después del final del primer segundo, el radio se ha expandido menos de 1 km, por lo que la rana puede alcanzarlo fácilmente en el primer segundo. Pero como [math] \ frac {dr} {dt} [/ math] depende de [math] r [/ math], a medida que el círculo se hace más y más grande, la rana se aleja más y más rápido, en comparación con su velocidad fija de corriendo. Por lo tanto, a menos que comience a correr inmediatamente hacia el punto de partida, no podrá llegar más tarde. Una pregunta interesante puede ser cuánto tiempo, si la rana espera hasta que corre, apenas puede llegar al punto de partida.

Nota: el anillo aumenta su tamaño en 10 veces su tamaño inicial, he asumido que el tamaño es el área del círculo encerrado por el anillo. Si la pregunta realmente significa que es radio / diámetro, entonces el análisis cambia en consecuencia.

No, si la rana salta.

Sí, si la rana se arrastra.

Caso de rastreo:

En cualquier momento dado “t”, la distancia sin estirar recorrida por la rana es l = t * V. Donde V = 1 km / s, t está en segundos y l en km.

La distancia estirada l # = l * 10 ^ t

Por lo tanto, la distancia estirada desde el punto de inicio l # = V * t * 10 ^ t

En t = 0, l # = 0

En t = 1, l # = 10. La circunferencia del anillo también es 10, por lo que la rana ha llegado al final.

Caso de salto:

En el tiempo t, la rana estará a una distancia V * t desde el inicio. Mientras que la circunferencia del anillo será L * 10 ^ t.

En t = 0, posición de rana = 0, longitud del anillo = 1

En t = 1, posición de rana = 1, longitud del anillo = 9

Esta es una serie divergente y nunca llegará a cero.