Hablando en términos prácticos, la rana nunca llegará a su posición original si suponemos que el momento del salto de la rana es de 1 segundo (no es una mala suposición).
Además, tendremos que suponer que el anillo no tiene una velocidad angular para empezar. (de todos modos la respuesta será la misma)
En este escenario, la rana tiene que saltar en la dirección de la expansión, que es radialmente hacia afuera. Por lo tanto, simplemente podemos convertir esto en un problema en 1d. La distancia de la rana en algún tiempo entero ‘t’ es solo [matemática] d_f = \ frac {1} {2 \ pi} + v * t [/ matemática] (donde v = 1 km / s). Esta es la distancia de la rana, incluida su distancia desde el centro del anillo. Sin embargo, la distancia del anillo desde su posición original será [matemática] d_r = \ frac {10 ^ t} {2 \ pi} [/ matemática]. Esto es 10 veces el radio original.
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Naturalmente, en t = 1, podemos ver que [matemáticas] d_f \ aprox 1.159154 .. [/ matemáticas] mientras que [matemáticas] d_r \ aproximadamente 1.519154. [/ Matemáticas] Por lo tanto, la rana nunca alcanzará el anillo.
Sin embargo, podemos llegar a una mejor conclusión si fuéramos tratados ‘t’ como una variable continua, pero aún asumiendo que el anillo no tiene ninguna velocidad angular para empezar. (Esta vez, esta suposición es necesaria para simplificar nuestro problema, déjenme explicar)
La expresión que requerimos es [math] \ frac {10 ^ t} {2 \ pi} = \ frac {1} {2 \ pi} + t [/ math]. Ahora, si solo tratamos de encontrar la solución de esta ecuación, hemos terminado. Para encontrar una solución, podemos recurrir al asistente de una computadora. Reescribiendo la ecuación anterior como
[matemáticas] 10 ^ t – 2 \ pi t – 1 [/ matemáticas]
Necesitamos ver si la ecuación anterior cruza el eje x o, de manera equivalente, la línea y = 0.
Pude trazar esto con unas pocas líneas de código en python. (proporcionaré el código a continuación). Podemos verlo claramente cruzando el eje x en algún valor (no importante). El punto importante es tener en cuenta que, si la rana fuera un ser ultra inteligente, podría haber hecho todo este cálculo y cronometrado exactamente su salto al valor correcto de ‘t’. Entonces, técnicamente sí, la rana puede volver a su posición original.
Sin embargo, lamentablemente para la rana, se le acabará la suerte.
Supuestos clave a tener en cuenta:
- Asumimos que la expansión es un proceso continuo.
- El anillo no tiene velocidad angular para empezar.
código de python:
importar numpy como np importar matplotlib.pyplot como plt x = np.linspace (0,1,100) y = potencia np (10, x) - 2 * np.pi * x - 1 plt.figure () plt.plot (x, y) plt.hlines (0,0,1) plt.show ()
Finalmente, creo que este problema será bastante si hubiera una velocidad angular inicial. Ahora tendríamos que tener en cuenta la velocidad tangencial de la rana a medida que salta. Muy interesante no !!