¿El tiempo de Planck es absoluto o relativo?

Creo que para responder a esta pregunta, primero es necesario dar algunas aclaraciones y explicaciones sobre las unidades de Planck, la importancia de la escala de Planck para la gravedad cuántica y el significado de escalas mínimas.

Unidades de Planck

El tiempo de Planck , por sí solo, no es especial de ninguna manera. Es simplemente la unidad de tiempo utilizada en un sistema de unidades llamadas unidades de Planck. Aunque este sistema particular de unidades hace que las ecuaciones se vean más bonitas, no es físicamente más significativo que cualquier otro sistema arbitrario de unidades. El universo habría sido muy extraño si las unidades arbitrarias por las que eliges medir el tiempo tuvieran algún significado físico.

La respuesta correcta (pero ingenua) a su pregunta es, por lo tanto, que el tiempo de Planck no es más “absoluto” que cualquier otra duración de tiempo y, por supuesto, sufre dilatación del tiempo (y contracción) cuando se mueve a un marco de referencia diferente, cambiando a un diferente sistema de coordenadas, o moviéndose dentro o fuera de un “pozo gravitacional”.

En unidades naturales , establecemos la constante [matemática] \ hbar [/ matemática] de Planck, la velocidad de la luz en el vacío [matemática] c [/ matemática] y la constante [matemática] k_B [/ matemática] de Boltzmann en 1, es decir, [matemática ] \ hbar = c = k_B = 1 [/ math]. Usted es libre de hacerlo porque todas estas constantes tienen dimensión y, por lo tanto, su valor numérico es completamente arbitrario.

En la visión moderna, pensamos en estas constantes dimensionadas como un “factor de conversión” de una unidad a otra. Una vez que establezca todos en 1, puede escribir cualquier cantidad física utilizando solo una unidad. Generalmente llamamos a esa unidad de energía o masa y la medimos en unidades de electronvoltio (eV). La razón por la que podemos medir la energía y la masa usando las mismas unidades es que [matemática] c ^ 2 [/ matemática], el factor de conversión entre energía y masa en [matemática] E = mc ^ 2 [/ matemática], es igual a 1 ; así [matemática] E = m [/ matemática].

Del mismo modo, el inverso de la energía (o masa) es la longitud (o el tiempo). Nuevamente, la longitud y el tiempo se miden usando la misma unidad porque [matemática] c [/ matemática], el factor de conversión entre la longitud y el tiempo en [matemática] x = tc [/ matemática], es igual a 1; así [matemáticas] x = t [/ matemáticas].

Observe que la única constante dimensional que no establecimos en 1 es la constante gravitacional [matemática] G [/ matemática]. En unidades naturales resulta que tiene dimensiones de área, o equivalente como vimos, energía inversa al cuadrado. Por lo tanto, podemos definir la longitud y el tiempo de Planck como [matemáticas] \ ell_ {P} = t_ {P} = \ sqrt {G} [/ matemáticas], la energía y masa de Planck como [matemáticas] E_ {P} = M_ { P} = 1 / \ sqrt {G} [/ math], y así sucesivamente.

La escala de Planck y su importancia para la gravedad cuántica.

La importancia real de la longitud de Planck (o el tiempo de Planck, o la energía de Planck, etc.) no está realmente clara. En la gravedad cuántica, generalmente decimos que la escala de Planck (que para la longitud sería la longitud de Planck, etc.) es donde se espera que los efectos gravitacionales cuánticos sean notables. Sin embargo, esto no sucede exactamente en la escala de Planck; de hecho, en realidad no sucede a ninguna escala.

Como analogía, sabemos que a longitudes macroscópicas podemos usar la mecánica clásica en lugar de la mecánica cuántica, pero sin embargo, el mundo todavía está siendo descrito por la mecánica cuántica, es solo que los efectos cuánticos son insignificantes . Decimos muy libremente que los efectos cuánticos se vuelven significativos cuando [math] \ hbar [/ math] no se puede descuidar.

Supuestamente sucede lo mismo con la gravedad cuántica. La gravedad cuántica debería ser válida en todas las escalas , pero sus efectos se hacen más fuertes a medida que la longitud se acorta (de manera equivalente, la energía se vuelve más alta, etc.). La importancia de la escala de Planck radica en que la constante gravitacional [matemática] G [/ matemática] nos da (más o menos) la fuerza de acoplamiento de la interacción gravitacional. Sin embargo, vimos que la longitud y el tiempo de Planck son simplemente [math] \ sqrt {G} [/ math]; entonces, nuevamente, de manera muy flexible, podemos decir que cuando la longitud o el tiempo se vuelven más cortos que la escala de Planck [matemáticas] \ sqrt {G} [/ matemáticas] (Equivalentemente, la energía / masa se vuelve más alta que la escala de Planck [matemáticas] 1 / \ sqrt {G} [/ math]), los efectos de la gravedad cuántica no pueden ser descuidados.

Escalas mínimas

Lo anterior no significa, sin embargo, que la longitud / tiempo / etc de Planck. automáticamente se convierte en algún tipo de duración / tiempo mínimo. Veamos qué puede significar exactamente una longitud mínima .

A partir de ahora solo hablaré sobre una longitud mínima, pero como hemos visto, esto es completamente equivalente a un tiempo mínimo, o una energía / masa máxima; de hecho, cada una de estas opciones implica automáticamente las otras.

Si necesita más convencimiento, tenga en cuenta que una de las principales lecciones de la relatividad es que el tiempo y el espacio son dos aspectos de la misma cosa: el espaciotiempo . Al aplicar una transformación de Lorentz, o en general, al aplicar cualquier transformación de coordenadas, podemos “mezclar” libremente los componentes de tiempo y espacio. Por lo tanto, según la mayoría de las interpretaciones, la existencia de un intervalo de tiempo mínimo implica necesariamente la existencia de una longitud espacial mínima y viceversa.

Por lo tanto, todo lo que digo sobre una duración mínima también se aplica al caso específico de un tiempo mínimo que solicitó en su pregunta.

Una longitud mínima puede considerarse como una longitud “fundamental” en una de dos formas:
1. Es la menor longitud espacial “físicamente significativa” o medible. En este escenario, el espacio-tiempo puede ser continuo pero hay un límite, o un límite inferior , a la resolución por el cual podemos diferenciar dos puntos de espacio-tiempo.
2. O, más profundamente, es una unidad discreta de longitud, de modo que todas las longitudes medibles son múltiplos de ella. En este escenario, se dice que el espacio-tiempo es discreto o cuantificado.

Es importante enfatizar en este punto que no hay evidencia experimental alguna de que exista una longitud mínima en la naturaleza. Sin embargo, muchos enfoques hipotéticos de la gravedad cuántica parecen predecir que existe una longitud tan mínima. Por otro lado, diferentes enfoques de la gravedad cuántica predicen diferentes longitudes mínimas y tienen una noción diferente de lo que realmente significa “longitud mínima”.

Entonces, por ejemplo, en la gravedad cuántica de bucle (LQG) encontramos que el área mínima es
[matemáticas] A _ {\ mathrm {min}} = 4 \ pi \ sqrt {3} \ gamma \ ell _ {\ mathrm {P}} ^ {2}, [/ math]
donde [math] \ gamma [/ math] es un parámetro adimensional llamado parámetro Immirzi y [math] \ ell _ {\ mathrm {P}} [/ math] es la longitud de Planck. Por lo tanto, deducimos que la longitud mínima debe ser
[math] L _ {\ mathrm {min}} = \ sqrt {4 \ pi \ sqrt {3} \ gamma} \ ell _ {\ mathrm {P}}. [/ math]

Por supuesto, como ya he subrayado anteriormente, la existencia de la longitud de Planck en esta ecuación proviene del hecho de que la única escala que tiene nuestra teoría es la constante gravitacional [matemáticas] G [/ matemáticas] (ya que es una teoría de la gravedad ) y, por lo tanto, la única escala de longitud que podemos utilizar para escribir una longitud es la longitud de Planck [math] \ sqrt {G} [/ math].

Por otro lado, en la teoría de cuerdas tenemos una escala de longitud característica: la escala de cuerda [math] \ ell_ {S} = \ sqrt {\ alpha ‘} [/ math], donde [math] \ alpha’ [/ math ] es un parámetro llamado “pendiente Regge”. Se puede demostrar que la longitud mínima en la teoría de cuerdas es del orden de la escala de la cuerda. Sin embargo, la derivación de esta longitud mínima es muy diferente que en el caso de LQG. Además, la interpretación de la longitud mínima en la teoría de cuerdas es muy diferente a la de LQG.

Longitudes mínimas e invariancia de Lorentz

Ahora podemos finalmente intentar responder a su pregunta, que interpreto como: “Suponiendo que exista una escala mínima de duración / tiempo, ¿cómo se puede conciliar con la contracción de la longitud y la dilatación del tiempo en la relatividad?”

Lógicamente, solo puede haber 3 respuestas posibles a esta pregunta:
1. Una longitud mínima rompe la simetría de Lorentz.
2. Una longitud mínima es invariante de Lorentz.
3. Una longitud mínima es invariante bajo cierta deformación de la simetría de Lorentz (esto es un compromiso entre 1 y 2).

Analicemos uno por uno:

1. Una longitud mínima rompe la simetría de Lorentz

Ya sabemos que este es el caso en la relatividad clásica. Si el observador A mide cierta longitud (o tiempo, energía, etc.), entonces el observador B, en un marco de referencia diferente, medirá una longitud diferente (o tiempo, energía, etc.) debido a la transformación de Lorentz entre los dos marcos. Si se suponía que esa longitud era una longitud mínima, entonces podríamos hacerla arbitrariamente más corta debido a la contracción de Lorentz, y por lo tanto no puede ser una longitud mínima.

Sin embargo, es posible que la invariancia de Lorentz se rompa en las teorías de la gravedad cuántica. Pero tenemos que parar por un momento y pensar en lo que eso significa exactamente.

En general, se acepta como axioma que todas las teorías físicas deben ser invariantes al difeomorfismo ; es decir, las leyes de la física no pueden depender del sistema de coordenadas arbitrario por el cual elegimos expresarlas. Esto se conoce como el principio de invariancia general (o covarianza general).

Piénselo: sería absolutamente catastrófico si simplemente cambiar de un sistema de coordenadas a otro, que es algo que solo se hace “en papel” , ¡cambiará la física real en el laboratorio!

Sin embargo, una transformación de Lorentz no es más que un cambio de coordenadas. Por lo tanto, no tiene ningún sentido que la aplicación de una transformación de Lorentz cambie las leyes de la física. Si suponemos que la existencia de una longitud mínima es una ley de la física, entonces debe ser invariante de Lorentz.

¿Cómo podemos decir que algunas teorías de la gravedad cuántica rompen la simetría de Lorentz, entonces? Digamos que tenemos un sistema en el que estamos realizando una medición. En lugar de simplemente cambiar las coordenadas, podríamos construir un duplicado de ese sistema y transformarlo en Lorentz (rotar y / o mover) con respecto al sistema original. Entonces podríamos descubrir que los resultados de algunas mediciones han cambiado. Sin embargo, se han realizado muchos experimentos basados ​​en este concepto y hasta ahora no se ha encontrado evidencia de violación de Lorentz (para más información, ver Búsquedas modernas de violación de Lorentz en Wikipedia).

2. Una longitud mínima es invariante de Lorentz.

Si esto es cierto, entonces el observador A mide dos longitudes, una es la longitud mínima y la otra es mucho más larga, y el observador B, en un marco de referencia reforzado, mide que el primero permaneció exactamente la longitud mínima mientras que el segundo ha sido Lorentz-contratado! ¿Cómo puede esto tener sentido?

El hecho de que la gravedad cuántica sea una teoría cuántica nos permite hacer todo tipo de cosas raras. Daré un ejemplo usando la gravedad cuántica de bucles (LQG) aunque también es posible aplicar esto a otras teorías.

En LQG, como mencioné antes, hay un área mínima (y, por lo tanto, una longitud mínima). ¿Cómo encontramos esta área? En mecánica cuántica, cualquier observable se mide actuando con un operador hermitiano en un estado cuántico . El valor medido se obtendrá como uno de los valores propios en el espectro de ese operador.

LQG es, por supuesto, una teoría cuántica, y un área es, por supuesto, observable; así, para medir un área en LQG, debemos actuar con un operador de área en un estado cuántico que represente el espacio-tiempo. El valor medido del área será entonces uno de los valores propios en el espectro del operador del área. (No discutiré cómo se construyen el operador o los estados cuánticos, ya que este es un problema bastante técnico y es irrelevante para esta discusión).

Por lo tanto, decimos que en LQG el espacio-tiempo está cuantizado. Veamos cómo esta “cuántica” del espacio-tiempo resolvió mágicamente nuestro problema. Para este propósito, es instructivo pensar primero en un ejemplo mucho más familiar.

Es bien sabido por cualquiera que haya estudiado mecánica cuántica en el nivel introductorio que el momento angular está cuantizado. En otras palabras, el operador de momento angular tiene un espectro discreto de valores propios. Si medimos un componente de momento angular a lo largo de algún eje, el resultado será uno de estos valores propios.

Ahora, imagine que el observador A ha medido la componente [matemática] L_z [/ matemática] del momento angular de un sistema para ser 1/2, que es el valor propio mínimo distinto de cero. Clásicamente, esperaríamos que el observador B, que gira con respecto al observador A, pueda medir cualquier valor real para [matemáticas] L_z [/ matemáticas], ya que la rotación es una transformación continua; Todos los componentes del momento angular cambian continuamente bajo rotación.

En mecánica cuántica, sin embargo, sabemos que esto no es cierto; El observador B mide [matemáticas] L_z [/ matemáticas] en su marco de referencia utilizando el mismo operador, que tiene exactamente el mismo espectro discreto. El observador B podría encontrar que la distribución de probabilidad de los valores propios es diferente en su marco de referencia, pero los valores propios en sí seguirán siendo exactamente los mismos, y en particular un valor distinto de cero de [math] L_z [/ math] que es menor que El valor mínimo no se puede medir.

Naturalmente, en la gravedad cuántica hay muchas complicaciones y dificultades técnicas que no intentaré describir aquí, pero la idea es similar. Simplemente reemplace el momento angular con área (o longitud, tiempo, etc.) y rotación con la transformación de Lorentz.

3. Una longitud mínima es invariante bajo cierta deformación de la simetría de Lorentz

El ejemplo más famoso de este enfoque es la relatividad especial (DSR) doble (o deformada). Se llama especial “doblemente” porque no solo asume una velocidad máxima independiente del observador (la velocidad de la luz) sino también una segunda escala independiente del observador . Esto puede ser una longitud o tiempo mínimo (la longitud de Planck o el tiempo de Planck, por construcción), o una energía / momento / masa máxima (la energía de Planck, etc.); Todas estas opciones son equivalentes como he explicado anteriormente.

Una vez que elige la segunda escala independiente del observador, “deforma” la simetría de Lorentz de modo que mantenga esa escala invariable de la misma manera que la transformación estándar de Lorentz mantiene la velocidad de la luz invariante. Lo más importante, a escalas muy por encima de la escala mínima (o muy por debajo de la escala máxima), la simetría es indistinguible de la simetría de Lorentz.

Hay muchas formas de implementar tales deformaciones y no hay forma de saber cuál, si es que hay alguna, es la “correcta”. El modelo también tiene otros problemas, más técnicos, en los que no entraré aquí. El punto es que, teóricamente, también es posible tener una longitud mínima sin recurrir a la “magia” cuántica.

Otras lecturas

Para una revisión excelente (pero altamente técnica) de este tema, recomiendo leer [1203.6191] Escenarios de escala de longitud mínima para la gravedad cuántica.

Es absoluto en las teorías cuánticas de computación. Ver también: http://arxiv.org/pdf/gr-qc/04030

Establece límites en la cantidad de información que puede codificar en el límite de un agujero negro y su velocidad de procesamiento. En la gravedad de bucle cuántico, cada movimiento cuántico en el universo está en pasos de tiempo de planck discretos.