El Principio de incertidumbre de Heisenberg (HUP) se desprende de la afirmación de que la posición y el momento son observables incompatibles. En nuestra experiencia cotidiana, nos gusta pensar en los observables como conjuntos de números. En un mapa, puede identificar dónde vive dando algunas coordenadas, por ejemplo, longitud y latitud. Cuando miras tu velocímetro, ves tu velocidad como un número indicado en un dial. Este esquema funciona a gran escala donde los objetos tienen propiedades, como posición e impulso, asociadas con números específicos en cada momento en el tiempo.
Sin embargo, en mecánica cuántica, los observables no son números. En cambio, son operadores que actúan sobre las llamadas funciones de onda. La función de onda es una función especial que especifica completamente el estado de un sistema. Si llamamos a [math] \ psi (x) [/ math] la función de onda de una partícula en una dimensión con [math] x [/ math] como la coordenada, entonces el operador de posición es solo la función lineal, [math] x [/matemáticas]. Si la partícula tiene una posición definida, digamos [math] x_0 [/ math], entonces decimos que está en un estado tal que su función de onda obedece a la relación,
(1) [matemáticas] x \ psi (x) = x_0 \ psi (x) [/ matemáticas]
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para todos [matemáticas] x [/ matemáticas]. Esencialmente, al estar en este estado particular, podemos asociar el operador de posición con el número [math] x_0 [/ math], que es la posición en la que encontraríamos la partícula si realizáramos una medición. Puedes ver por ti mismo que esta posición “eigenstate” corresponde a una función de onda [math] \ psi (x) [/ math] que es cero en todas partes excepto en el punto [math] x = x_0 [/ math] (más específicamente, es la función delta de Dirac). Hasta ahora, no hay nada realmente mecánico cuántico sobre esto. Podrías hacer lo mismo en mecánica clásica, pero la utilidad de la función de onda se pierde y solo decimos que la partícula está en [matemáticas] x = x_0 [/ matemáticas].
Pero, ¿y si también quieres medir el impulso? Aquí es donde realmente necesitamos la función de onda. El operador de impulso es esencialmente la derivada,
[matemáticas] p = \ frac {\ hbar} {i} \ frac {d} {dx} [/ matemáticas]
donde [math] \ hbar [/ math] es la constante de Planck e i es la unidad imaginaria. Entonces, si una partícula tiene un momento definido, digamos [math] p_0 [/ math], entonces decimos que su función de onda obedece a la relación,
(2) [matemáticas] \ frac {\ hbar} {i} \ frac {d} {dx} \ psi (x) = p_0 \ psi (x) [/ matemáticas]
donde [math] i [/ math] es la unidad imaginaria y [math] \ hbar [/ math] es la constante de Planck. Es decir, la derivada de la función de onda es proporcional a la función de onda en sí, para todos [math] x [/ math]. Si la función de onda satisface esta relación, entonces podemos simplemente asociar el operador de momento con el número [math] p_0 [/ math]. La solución a esta relación toma la forma,
[matemáticas] \ psi (x) \ propto e ^ {i p_0 x / \ hbar} [/ matemáticas]
Si esta expresión te resulta confusa, no te preocupes por eso. Lo más importante es que la magnitud de esta función de onda es constante,
[matemáticas] | \ psi (x) | \ propto 1 [/ matemáticas]
En todas partes.
Ahora, juntemos estas dos piezas. Para tener una posición definida, necesitamos una función de onda que sea cero en todas partes, excepto en la posición real. Para tener un impulso definido, necesitamos una función de onda que no sea cero en todas partes. Entonces, como puede ver, no podemos tener una función de onda que tenga ambas propiedades al mismo tiempo . Debido a que la función de onda describe completamente la partícula, la partícula no puede tener una posición definida y un momento definido al mismo tiempo. Es por eso que no puede medir la posición y el momento al mismo tiempo con precisión arbitraria.
No se sienta mal, no tiene nada que ver con su capacidad para medir estos observables. Es solo un límite fundamental de la naturaleza.
