¿Cuál es el significado del teorema del índice Atiyah-Singer? ¿Cuáles son algunas aplicaciones comunes en física teórica?

Una buena aplicación proviene de la teoría de Seiberg-Witten. La configuración es: a uno se le da un múltiple suave de 4 y quiere resolver un cierto PDE en él. Más precisamente, uno está interesado en el “espacio de módulo” de soluciones, que es el espacio de soluciones módulo (una noción adecuada de) reparametrización. Este espacio de módulo resulta ser una variedad suave y una pregunta natural es calcular su dimensión. Se puede demostrar que esta dimensión es igual al índice de un determinado operador elíptico, y una aplicación del teorema del índice Atiyah-Singer muestra que este índice está dado a su vez por una determinada fórmula explícita que involucra solo datos topológicos (clases características y Betti números) del subyacente 4-múltiple. Estos datos suelen ser bastante fáciles de calcular, lo que proporciona una forma práctica de determinar la dimensión del espacio de módulos.

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