Los números cuánticos se refieren a los estados de un átomo de hidrógeno. Deben usarse para distinguirlos porque el potencial en este caso es muy simple y simétrico, de modo que la ecuación de Schroedinger pueda resolverse analíticamente. Las soluciones son:
[matemáticas] \ psi_ {nlm} (\ rho, \ theta, \ phi) = \ sqrt {(\ frac {2} {na_0}) ^ 3 \ frac {(nl-1)!} {2n [(n + l)!]}} e ^ {- \ rho / 2} \ rho ^ lL ^ {2l + 1} _ {nl-1} (\ rho) Y ^ m_l (\ theta, \ phi) [/ math]
donde [math] L ^ {2l + 1} _ {nl-1} (\ rho) [/ math] son polinomios de Laguerre y [math] Y ^ m_l [/ math] son armónicos esféricos.
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Como puede ver, hay tres parámetros en la expresión de función de onda, [matemática] n [/ matemática], [matemática] l [/ matemática] y [matemática] m [/ matemática]: son los números cuánticos. Juntos definen una solución única y específica. La energía del estado correspondiente depende solo de [matemática] n [/ matemática] (mayor [matemática] n [/ matemática] significa mayor energía), mientras que el momento orbital depende de [matemática] l [/ matemática] y [matemática] m [/ matemáticas]. No todos los números cuánticos están permitidos: si inserta los números incorrectos como [matemática] n [/ matemática], [matemática] l [/ matemática] o [matemática] m [/ matemática] obtendrá una función que no puede describir un estado real (por ejemplo, podría corresponder a un estado donde el componente del momento orbital en una dirección especificada es mayor que su longitud). Como estas funciones de onda describen la distribución espacial de un solo electrón dentro de un átomo, podemos llamarlas orbitales atómicos.
Cuando introducimos un segundo electrón en el sistema, el potencial se vuelve mucho más complejo debido a la repulsión entre electrones, por lo que la ecuación se vuelve tan difícil que no se puede resolver analíticamente. A lo largo de las décadas de investigación en química cuántica, encontramos métodos para resolver la ecuación de Schroedinger para problemas de muchos electrones numéricamente con buena precisión. La mayoría de los métodos dependen de postular la solución como una combinación lineal de los orbitales del átomo de hidrógeno (porque son funciones ortogonales y, por lo tanto, pueden servir como base), ajustados (principalmente cambiando [math] a_0 [/ math], pero generalmente hay algunas otras aproximaciones para hacer los cálculos más rápidos) para que la energía total del estado sea lo más baja posible.
Cuando describimos la configuración electrónica de los átomos después de (aproximadamente) resolver la ecuación de Schroedinger, observamos qué tipos de orbitales de hidrógeno utilizamos para obtener nuestro resultado. Un conjunto de orbitales con el mismo número cuántico principal se denomina capa de electrones y se nombra con el número, mientras que un conjunto con los mismos números cuánticos principales y azimutales se llama una subcapa y su nombre incluye una letra: [math] s [/ math ] para [matemáticas] l = 0 [/ matemáticas]. [matemática] p [/ matemática] para [matemática] 1 [/ matemática], [matemática] d [/ matemática] para [matemática] 2 [/ matemática], [matemática] f [/ matemática] para [matemática] 3 [ / math], seguido de [math] g [/ math], [math] h [/ math] etc., entonces tenemos subcapas [math] 1s [/ math], [math] 3p [/ math], [math ] 7f [/ math]… Para describir la configuración, establecemos “cuántos electrones hay en cada subshell”. Sin embargo, lo que realmente queremos decir con eso es un poco diferente, por ejemplo, cuando decimos que la configuración de He es [matemática] 1s ^ 2 [/ matemática] significa que dos electrones en un átomo de helio ocupan un espacio con forma similar a un orbital de hidrógeno con [matemáticas] n = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] l = 0 [/ matemáticas]. Un átomo de oxígeno tiene la configuración [matemática] 1s ^ 22s ^ 22p ^ 4 [/ matemática], lo que significa que dos de sus electrones se describen con orbitales en forma de [matemática] 1s [/ matemática] orbitales de hidrógeno, otros dos con [matemática] ] 2s [/ math] en forma de orbitales y cuatro con [math] 2p [/ math] orbitales (los electrones específicos son realmente indistinguibles, lo que se describe como interacción de intercambio). Debido al principio de exclusión de Pauli, un número limitado ([matemática] 4l + 2 [/ matemática]) de electrones puede ocupar una subcapa. Al predecir la configuración electrónica de un átomo, llenamos las subcapas posteriores a partir de la energía más baja (principio de Aufbau). Aunque en el hidrógeno la energía de todos los orbitales dentro de una capa es la misma, en muchos problemas de electrones la repulsión entre electrones causa una diferencia de energía entre las diferentes subcapas. Estamos acostumbrados a un orden de llenado de subshell que se ve así:
y generalmente es correcto, pero no tiene en cuenta muchos efectos finos. El átomo de berilio es en realidad un caso bastante difícil para la química cuántica. Cuando solo se llena la subshell [matemática] 1s [/ matemática], los orbitales [matemática] 2s [/ matemática] y [matemática] 2p [/ matemática] tienen una energía muy similar, lo que significa la diferencia de energía entre los estados descritos por [matemática] Las configuraciones 1s ^ 22s ^ 2 [/ math] y [math] 1s ^ 22p ^ 2 [/ math] son pequeñas. El estado fundamental real es una superposición de las dos configuraciones, con una contribución de aproximadamente el 10% de [math] 1s ^ 22p ^ 2 [/ math] si recuerdo correctamente. Es por eso que el método Hartree-Fock no puede describirlo correctamente.
Información adicional: Química cuántica específica del estado y de la propiedad: características básicas y aplicaciones de muestra a tierra atómica, molecular y metálica y estados excitados de berilio – Nicolaides – 2011 – International Journal of Quantum Chemistry