Las transformaciones de Lorentz solo son importantes debido a la invariancia de Lorentz. Entonces explicaré ambos. Creo que es más fácil comprender las transformaciones de Lorentz y la invariancia de Lorentz si comienzas pensando en rotaciones tridimensionales e invariancia rotacional.
El concepto de rotación nos resulta muy familiar debido al hecho curioso de que todos los objetos pueden rotarse . Si te detienes y piensas en ello por un momento, este es un hecho muy curioso. No todos los objetos se pueden estirar, por ejemplo: se puede estirar una banda elástica, pero si intentas estirar un fideo más que un poquito, simplemente se romperá. Sin excepción, todos los objetos pueden rotarse, en el sentido de que pueden existir en cualquier orientación; vale la pena considerar por qué esto es así. ¿Qué hace que la rotación sea especial de una manera que el estiramiento no lo es?
La respuesta es que las leyes de la física que gobiernan nuestro universo exhiben invariancia rotacional, que es la forma técnica de decir que la versión rotada de un sistema aislado exhibe el mismo comportamiento que la versión no rotada, que los sistemas aislados no pueden determinar su orientación, o que Las leyes de la física no “discriminan” contra la orientación. Por ejemplo,
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Dado que las leyes de la física no discriminan contra la orientación, eso implica que nunca pueden llegar a la conclusión de que un estado dado de un objeto aislado es válido, pero una versión rotada de ese estado no es válida. [1] Las transformaciones de estiramiento no son especiales de la misma manera; las leyes de la física “se preocupan” de cuán separadas están dos partículas.
Un hecho clave sobre las rotaciones es que dejan todas las distancias sin cambios. Esto garantiza, por ejemplo, que el diámetro de un objeto no cambia cuando se gira. También garantiza que los ángulos no estén distorsionados. Esta es la propiedad definitoria de las rotaciones.
Ahora, una rotación es un tipo de transformación de Lorentz. Pero las rotaciones no van lo suficientemente lejos. Porque se sabe que no solo se pueden rotar todos los objetos, sino que también se pueden impulsar todos los objetos . Por un momento voy a fingir que el universo es newtoniano, para poder explicar qué es un impulso. Un impulso cambia la velocidad de un sistema de manera uniforme (como la forma en que una traslación cambia la posición de manera uniforme y una rotación cambia la orientación de manera uniforme). Un aumento de 10 m / s a la derecha, por ejemplo, convertiría:
- un tren estacionario en un tren que se mueve a 10 m / s hacia la derecha;
- un tren que se mueve a 50 m / s hacia la derecha a un tren que se mueve a 60 m / s hacia la derecha;
- un tren que se mueve a 50 m / s hacia la izquierda a un tren que se mueve a 40 m / s hacia la izquierda
- un tren que se mueve a 50 m / s hacia la izquierda con un humano adentro corriendo a 5 m / s hacia la derecha en relación con el tren, a un tren que se mueve a 40 m / s hacia la izquierda con un humano adentro todavía corriendo a 5 m / s a la derecha en relación con el tren.
Tenga en cuenta que en el último ejemplo, el humano se mueve a una velocidad de avance de 45 m / s hacia la izquierda, y después del impulso que se convierte en 35 m / s. Pero la velocidad del ser humano en relación con el tren no ha cambiado. Por lo tanto, un impulso afecta a todos los componentes de un sistema de manera uniforme para que su relación entre ellos no se vea afectada. Tenga en cuenta que un impulso no afecta la aceleración de un sistema o un componente del mismo; La imagen de un objeto acelerado bajo un impulso es un objeto con la misma aceleración pero una velocidad que se desplaza uniformemente en todos los puntos en el tiempo.
Tenga en cuenta también que un impulso no es el proceso de acelerar un sistema desde su velocidad anterior a una nueva velocidad. Un impulso es una función que asigna el historial completo de un sistema a un historial diferente, en el que todas las velocidades se desplazan en la misma cantidad.
Los refuerzos parecen estar “protegidos” por una simetría similar a la simetría rotacional, en la que las leyes de la física tratan a un sistema impulsado de la misma manera que el sistema original. Por lo tanto, un sistema aislado no puede conocer su velocidad del mismo modo que no puede conocer su orientación. [3] Aquí hay algunos ejemplos de las consecuencias físicas de este hecho:
- un robot programado para subir escaleras será igualmente capaz de subir una escalera mecánica (sin embargo, no hay garantías sobre qué tan bien manejan bajar en la parte superior)
- una pelota que cae dentro de un elevador que asciende a velocidad constante es tan hinchable como lo sería en el suelo
- un objeto arrojado dentro de un tren viajará tan lejos en relación con el tren como viajaría en relación con el suelo si se arroja dentro de la estación
- y, a mayor escala, a medida que la Tierra cambia de dirección a medida que viaja alrededor del Sol, no puedes sentir en qué dirección viaja actualmente la Tierra (¡aunque puedes consultar un calendario si realmente quieres saber!)
Los aumentos solo cambian la velocidad (y, por lo tanto, con el tiempo, la posición), no la aceleración. La aceleración no tiene una simetría correspondiente. Un sistema cerrado y aislado siempre tendrá una aceleración cero, mientras que puede tener cualquier velocidad.
Ahora esta imagen hasta ahora era la imagen en la física newtoniana. El problema es que esta imagen no es completamente precisa. Si bien es cierto que un sistema no puede conocer su propia velocidad, que existe una simetría con respecto a la velocidad, no funciona exactamente como dije. Hay luz, cuya velocidad no se puede cambiar; siempre viaja a la velocidad de la luz. La velocidad de la luz también es un límite de velocidad universal. Impulsar un sistema afecta a todas las partes del sistema de manera uniforme, pero no de la manera ingenua de Newton. Si en una caja estacionaria hay un electrón que viaja a .5 c a la derecha, entonces la caja, cuando está impulsada para que viaje a .5 c a la derecha, no contiene un electrón que viaja a c a la derecha, sino más bien uno viajando a .8 c a la derecha.
Estas extrañas propiedades pueden explicarse por el hecho de que un impulso, a diferencia de una rotación, no solo afecta el espacio. También afecta el tiempo . Una rotación cambia las posiciones de los componentes de un sistema, pero no cambia el punto de tiempo de ningún evento; eso es tan obvio que ni siquiera lo mencionamos, por lo general. Pero un impulso, o una combinación de un impulso y una rotación, puede cambiar el momento en que ocurre un evento. Puede mezclar espacio y tiempo, al igual que las rotaciones mezclan espacio. Una consecuencia de esto es que los relojes móviles funcionan más lentamente que los relojes estacionarios; El reloj en movimiento, que puede verse como una versión mejorada del reloj estacionario, se mueve a través del espacio más rápido que el reloj estacionario, pero también se mueve a través del tiempo más lentamente. El impulso mezcló espacio y tiempo.
La discusión anterior sobre las rotaciones y los aumentos newtonianos debería ser lo suficientemente intuitiva, pero si realmente quieres una explicación de la transformación de Lorentz y los aumentos de Lorentz, entonces tengo que sacar algo de álgebra. Trataré de aprovechar la exposición intuitiva dada anteriormente para hacer esto lo más indoloro posible.
Una rotación puede cambiar la posición de una partícula pero no cambia la distancia entre dos partículas,
[matemáticas] d ^ 2 = (\ Delta x) ^ 2 + (\ Delta y) ^ 2 + (\ Delta z) ^ 2 [/ matemáticas]
Las rotaciones tampoco cambian los ángulos, ni cambian el tiempo. Eso es lo que hace que las rotaciones sean lo que son. Entonces, realmente, la invariancia rotacional es la afirmación de que si un sistema se transforma de una manera que deja invariables todas sus distancias y ángulos internos, así como todos los puntos de tiempo, entonces su comportamiento no cambia; no puede notar la diferencia, por así decirlo. La fórmula anterior caracteriza las rotaciones, y la declaración de invariancia rotacional otorga a las rotaciones un estado especial entre todas las posibles transformaciones y revela una verdad profunda sobre el universo.
Pero las rotaciones son solo un caso especial de un tipo más general de transformación; esa es la transformación de Lorentz, y las leyes de la física tal como las conocemos son invariantes de Lorentz. Una transformación de Lorentz deja el siguiente intervalo espacio-tiempo invariable:
[matemática] s ^ 2 = (c \ Delta t) ^ 2 – (\ Delta x) ^ 2 – (\ Delta y) ^ 2 – (\ Delta z) ^ 2 [/ matemática]
o
[matemática] s ^ 2 = (c \ Delta t) ^ 2 – d ^ 2 [/ matemática]
Una rotación es un tipo de transformación de Lorentz porque una rotación deja [matemática] \ Delta t [/ matemática] y [matemática] d ^ 2 [/ matemática] invariante por separado, por lo que, por supuesto, deja [matemática] s ^ 2 = (c \ Delta t) ^ 2 – d ^ 2 [/ math] invariante. ¡Pero también podemos ver que son posibles diferentes tipos de transformaciones de Lorentz! Por ejemplo, considere la siguiente transformación de Lorentz:
[matemáticas] t ‘= \ frac {5} {4} t + \ frac {3} {4c} x [/ matemáticas]
[matemáticas] x ‘= \ frac {3c} {4} t + \ frac {5} {4} x [/ matemáticas]
[matemáticas] y ‘= y [/ matemáticas]
[matemáticas] z ‘= z [/ matemáticas]
Es decir, si un objeto se encuentra en las coordenadas espaciales [matemáticas] (x, y, z) [/ matemáticas] en el tiempo [matemáticas] t [/ matemáticas], entonces su imagen transformada por Lorentz se ubica en las coordenadas espaciales [ math] (x ‘, y’, z ‘) [/ math] en el momento [math] t’ [/ math], calculado usando las fórmulas anteriores.
Si hace los cálculos, verá que si todos los puntos tienen sus coordenadas x y t modificadas de acuerdo con esta transformación, entonces, para un par de puntos dado, sus coordenadas después, [matemáticas] (t’_1, x’_1, y’_1, z’_1) [/ math] y [math] (t’_2, x’_2, y’_2, z’_2) [/ math] tendrán el mismo intervalo espacio-tiempo entre ellas como sus coordenadas antes, [matemáticas] (t_1, x_1, y_1, z_1) [/ matemáticas] y [matemáticas] (t_2, x_2, y_2, z_2) [/ matemáticas].
En el caso de que [math] t ‘= t [/ math] tenga una rotación, pero para este ejemplo en particular ese no es el caso, por lo que no es una rotación. La siguiente es una rotación:
[matemáticas] t ‘= t [/ matemáticas]
[matemáticas] x ‘= \ frac {3} {5} x + \ frac {4} {5} y [/ matemáticas]
[matemáticas] y ‘= – \ frac {4} {5} x + \ frac {3} {5} y [/ matemáticas]
[matemáticas] z ‘= z [/ matemáticas]
Observe dos diferencias entre esta rotación y la transformación de Lorentz dada anteriormente, que es un impulso (y veremos por qué en breve). El impulso mezcla el eje x y el eje de tiempo. La rotación mezcla los ejes x e y y deja el tiempo solo. Además, la rotación tiene un signo menos, mientras que el impulso tiene todos los signos más. La razón de esta diferencia es que el intervalo espacio-tiempo tiene un signo más para el tiempo y signos menos para el espacio. Por lo tanto, los aumentos no son exactamente como las rotaciones (en realidad son “rotaciones hiperbólicas”), pero mi intuición personal para las transformaciones de Lorentz proviene de imaginarlas como rotaciones generales que pueden mezclar el espacio y el tiempo. Esa es la explicación intuitiva.
Para comprender el efecto de este impulso, primero imagine un objeto sentado en el origen. Tiene [matemáticas] x = y = z = 0 [/ matemáticas]. Ahora aplica esta transformación. [matemática] y ‘[/ matemática] y [matemática] z’ [/ matemática] por supuesto será cero, pero
[matemáticas] t ‘= \ frac {5} {4} t + \ frac {3} {4c} x = \ frac {5} {4} t [/ matemáticas]
[matemáticas] x ‘= \ frac {3c} {4} t + \ frac {5} {4} x = \ frac {3c} {4} t [/ matemáticas]
entonces la ecuación de la trayectoria después de la transformación de Lorentz es
[matemáticas] x ‘= \ frac {3c} {5} t’ [/ matemáticas]
En otras palabras, esta transformación de Lorentz mapea un objeto estacionario sobre un objeto que se mueve a lo largo del eje x positivo a .6 c . Así que realmente es un impulso; cambia un objeto estacionario a uno que se mueve uniformemente.
Este tipo de transformación de Lorentz, que se mueve alrededor de puntos en el espacio y el tiempo, es una transformación activa de Lorentz. Pero ahora imagine que este objeto que viaja a .6 c a la derecha es en realidad otro observador , a quien llamaremos Alice. Según Alice, ella misma es inmóvil, ya que un sistema en movimiento no puede conocer su propia velocidad. Entonces, según ella, sus coordenadas x, y y z son todas cero, y solo se mueve a través del tiempo. Pero como ves que Alice se mueve hacia la derecha en .6 c , debe verte moviéndote hacia la izquierda en .6 c aunque te percibas a ti mismo en el origen. Es decir, las coordenadas que te asignas a ti mismo son [matemáticas] x = y = z = 0 [/ matemáticas], pero según Alice, en el marco de referencia de Alice, tus coordenadas satisfacen [matemáticas] x ” = – \ frac {3c} {5} t ” [/ matemáticas]. (Estoy usando los números primos dobles para denotar el marco de referencia de Alice).
Si toma la forma de la transformación de Lorentz activa en coordenadas que usó para transformar a Alice de estacionaria a moverse a la derecha a .6 c , entonces asigna las coordenadas de la trayectoria de un objeto estacionario en el origen a las coordenadas de la trayectoria de un objeto que se mueve hacia la derecha a .6 c, lo que implica que su transformación inversa toma las coordenadas de la trayectoria de un objeto que se mueve hacia la derecha a .6 c —coordenadas de Alice en su marco de referencia— a las coordenadas de un objeto estacionaria en el origen: las coordenadas de Alice en su marco de referencia. Por lo tanto, no es difícil ver que el inverso de esta transformación activa de Lorentz se puede usar para transformar las coordenadas de un punto en un marco de referencia (el suyo) a las coordenadas del mismo punto en otro (Alice). Esto se llama transformación pasiva de Lorentz.
Si elige considerar las transformaciones de Lorentz activas o pasivas, no cambia el hecho de que están definidas para mantener invariante el intervalo espacio-tiempo. Tienen las mismas propiedades matemáticas. Pero las transformaciones pasivas revelan una idea de cómo observadores diferentes observan de manera diferente, que es lo que hace que la relatividad sea poco intuitiva y revolucionaria.
Digamos que Bob, mirando hacia el norte, lanza una pelota 10 metros hacia adelante. Alice se enfrenta al noreste. Para ella, la pelota solo se movió [matemática] 5 \ sqrt {2} [/ matemática] metros hacia adelante; también se movió [math] 5 \ sqrt {2} [/ math] metros a la izquierda. Sin embargo, tanto Alice como Bob están de acuerdo en que la pelota se movió 10 metros en total. Para Bob, la distancia es [matemática] \ sqrt {10 ^ 2 + 0 ^ 2 + 0 ^ 2} [/ matemática] metros. Para Alice, la distancia es [matemática] \ sqrt {(5 \ sqrt {2}) ^ 2 + (5 \ sqrt {2}) ^ 2 + 0 ^ 2} [/ matemática] metros. Por supuesto que están de acuerdo; las rotaciones preservan las distancias, por lo que un observador rotado siempre ve la misma distancia que el original. Pero no están de acuerdo con los componentes individuales. Esto no es nada extraño; Es totalmente intuitivo ya que todos estamos familiarizados con el funcionamiento de las rotaciones.
Pero si las rotaciones pueden mezclar coordenadas espaciales y los aumentos pueden mezclar el espacio con el tiempo, entonces, por esa misma analogía, un observador impulsado podría observar una cantidad de tiempo diferente entre dos eventos en comparación con el observador original. Este es de hecho el caso. Digamos que Bob en el origen multiplicado por 4 segundos en su reloj de pulsera … al principio, sus coordenadas son [matemáticas] (0, 0, 0, 0) [/ matemáticas] y al final son [matemáticas] (4, 0, 0, 0) [/ math] donde el tiempo se mide en segundos y el espacio se mide en segundos luz. Alice, por otro lado, ve diferentes coordenadas para Bob, dadas por el inverso de la transformación de Lorentz dada anteriormente:
[matemáticas] t ‘= \ frac {5} {4} t – \ frac {3} {4c} x [/ matemáticas]
[matemáticas] x ‘= – \ frac {3c} {4} t + \ frac {5} {4} x [/ matemáticas]
[matemáticas] y ‘= y [/ matemáticas]
[matemáticas] z ‘= z [/ matemáticas]
Para Alice, las coordenadas iniciales de Bob son [matemáticas] (0, 0, 0, 0) [/ matemáticas], pero sus coordenadas finales son [matemáticas] (5, -3, 0, 0) [/ matemáticas]. Entonces, según Alice, han pasado cinco segundos y Bob se ha movido 3 segundos luz hacia la izquierda, mientras que según Bob, han pasado cuatro segundos y él permaneció inmóvil. Pero tanto Alice como Bob están de acuerdo en el intervalo espacio-tiempo que atravesó Bob, ya que una transformación de Lorentz deja esa invariante.
Por lo tanto, siempre puede impulsar un reloj, pero cuando lo haga, parecerá que funciona más lentamente. Esto parece realmente extraño a menos que tenga en cuenta que un impulso mezcla espacio y tiempo. Cuando tienes eso en mente, un reloj que parece funcionar más lentamente cuando se impulsa no es diferente de la forma en que alguien que corre en ángulo con respecto a tu línea de visión parece avanzar más lentamente hacia ti de lo que se percibe. Es solo una cuestión de los diferentes observadores que usan diferentes coordenadas.
[1] He usado la palabra “aislado” porque es importante. La orientación relativa de los objetos que no están aislados tiene consecuencias físicas. Si solo gira uno de los dos imanes, por ejemplo, puede cambiar la distancia entre sus polos, lo que cambia la fuerza y la energía potencial.
[2] Tenga en cuenta que las traducciones también tienen esta propiedad.
[3] Si un sistema conoce su propia velocidad, entonces no está aislado. Por ejemplo, puede estar midiendo su velocidad en relación con el aire a su alrededor, o puede estar triangulando su posición usando señales GPS.
