La ecuación se aplica solo a fluidos invisibles porque los fluidos con viscosidad significativa experimentan pérdidas de energía viscosa, que no se conservan: la energía perdida debido a la fricción viscosa tendría que ser suministrada, por ejemplo, por presión adicional, para evitar la desaceleración
En la mecánica de fluidos o, en general, en la mecánica continua, el flujo incompresible (flujo isocrórico) se refiere a un flujo en el que la densidad del material es constante dentro de una parcela de fluido, un volumen infinitesimal que se mueve con la velocidad del flujo. Una afirmación equivalente que implica incompresibilidad es que la divergencia de la velocidad del flujo es cero (vea la derivación a continuación, que ilustra por qué estas condiciones son equivalentes).
El flujo incompresible no implica que el fluido en sí sea incompresible. En la siguiente derivación se muestra que (en las condiciones adecuadas) incluso los fluidos compresibles pueden, en buena aproximación, modelarse como un flujo incompresible. El flujo incompresible implica que la densidad permanece constante dentro de un paquete de fluido que se mueve con la velocidad del flujo.
Derivación
El requisito fundamental para el flujo incompresible es que la densidad,
{\ displaystyle \ rho}
, es constante dentro de un volumen de elemento pequeño, dV, que se mueve a la velocidad de flujo u. Matemáticamente, esta restricción implica que la derivada material (discutida más abajo) de la densidad debe desaparecer para asegurar un flujo incompresible. Antes de introducir esta restricción, debemos aplicar la conservación de la masa para generar las relaciones necesarias. La masa se calcula por un volumen integral de la densidad,
{\ displaystyle \ rho}
:
{\ displaystyle {m} = {\ iiint \ limits _ {V} \! \ rho \, \ mathrm {d} V}.}
La conservación de la masa requiere que la derivada del tiempo de la masa dentro de un volumen de control sea igual al flujo de masa, J, a través de sus límites. Matemáticamente, podemos representar esta restricción en términos de una integral de superficie:
{\ displaystyle {\ partial m \ over \ partial t} = {- \ oiint \ limits _ {S} ~ (\ mathbf {J} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S})}.}
El signo negativo en la expresión anterior asegura que el flujo hacia afuera resulte en una disminución de la masa con respecto al tiempo, usando la convención de que el vector de área de superficie apunta hacia afuera. Ahora, usando el teorema de divergencia podemos derivar la relación entre el flujo y la derivada de tiempo parcial de la densidad:
{\ displaystyle {\ iiint \ limits _ {V} {\ partial \ rho \ over \ partial t} \, \ mathrm {d} V} = {- \ iiint \ limits _ {V} \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {J} \ right) \, \ mathrm {d} V},}
por lo tanto:
{\ displaystyle {\ partial \ rho \ over \ partial t} = – \ nabla \ cdot \ mathbf {J}.}
La derivada parcial de la densidad con respecto al tiempo no necesita desaparecer para garantizar un flujo incompresible. Cuando hablamos de la derivada parcial de la densidad con respecto al tiempo, nos referimos a esta tasa de cambio dentro de un volumen de control de posición fija. Al permitir que la derivada de tiempo parcial de la densidad sea distinta de cero, no nos estamos restringiendo a fluidos incompresibles, porque la densidad puede cambiar según se observa desde una posición fija a medida que el fluido fluye a través del volumen de control. Este enfoque mantiene la generalidad y no requiere que la derivada de tiempo parcial de la densidad se desvanezca, ilustra que los fluidos compresibles aún pueden experimentar un flujo incompresible. Lo que nos interesa es el cambio en la densidad de un volumen de control que se mueve junto con la velocidad del flujo, u. El flujo está relacionado con la velocidad del flujo a través de la siguiente función:
{\ displaystyle {\ mathbf {J}} = {\ rho \ mathbf {u}}.}
Para que la conservación de la masa implique que:
{\ displaystyle {\ partial \ rho \ over \ partial t} + {\ nabla \ cdot \ left (\ rho \ mathbf {u} \ right)} = {\ partial \ rho \ over \ partial t} + {\ nabla \ rho \ cdot \ mathbf {u}} + {\ rho \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {u} \ right)} = 0.}
La relación anterior (donde hemos usado la regla de producto apropiada) se conoce como la ecuación de continuidad. Ahora, necesitamos la siguiente relación sobre la derivada total de la densidad (donde aplicamos la regla de la cadena):
{\ displaystyle {\ mathrm {d} \ rho \ over \ mathrm {d} t} = {\ partial \ rho \ over \ partial t} + {\ partial \ rho \ over \ partial x} {\ mathrm {d} x \ over \ mathrm {d} t} + {\ partial \ rho \ over \ partial y} {\ mathrm {d} y \ over \ mathrm {d} t} + {\ partial \ rho \ over \ partial z} {\ mathrm {d} z \ over \ mathrm {d} t}.}
Entonces, si elegimos un volumen de control que se mueve a la misma velocidad que el fluido (es decir (dx / dt, dy / dt, dz / dt) = u), entonces esta expresión se simplifica a la derivada del material:
{\ displaystyle {D \ rho \ over Dt} = {\ partial \ rho \ over \ partial t} + {\ nabla \ rho \ cdot \ mathbf {u}}.}
Y así, usando la ecuación de continuidad derivada anteriormente, vemos que:
{\ displaystyle {D \ rho \ over Dt} = {- \ rho \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {u} \ right)}.}
Un cambio en la densidad a lo largo del tiempo implicaría que el fluido se ha comprimido o expandido (o que la masa contenida en nuestro volumen constante, dV, ha cambiado), lo que hemos prohibido. Luego debemos exigir que la derivada material de la densidad se desvanezca, y de manera equivalente (para una densidad distinta de cero) también la divergencia de la velocidad del flujo:
{\ displaystyle {\ nabla \ cdot \ mathbf {u}} = 0.}
Y así, comenzando con la conservación de la masa y la restricción de que la densidad dentro de un volumen de fluido en movimiento permanezca constante, se ha demostrado que una condición equivalente requerida para un flujo incompresible es que la divergencia de la velocidad del flujo se desvanece.