Si el espacio se expande pero las galaxias están en puntos fijos, ¿cómo sabemos que no estamos viendo la misma galaxia en diferentes puntos de la expansión?

Las galaxias no son puntos fijos en el universo. Sus coordenadas tridimensionales son fijas. Todo se mueve con la expansión.
Pero la dirección de expansión no está en una dimensión espacial (x, y o z). Está en 3D al mismo tiempo. Al igual que Time, la expansión es efectiva en 3D.
Entonces no te das cuenta.
Puede pensar como una equivalencia que las galaxias son algunos puntos en un globo. Cuando el globo se expande, estos puntos se divergen. Al mismo tiempo, aumenta el diámetro del globo. Estos cambios en el diámetro no afectan las coordenadas de los puntos según el globo y entre sí.

Puede pensar en la expansión como el diámetro creciente.
Así puedes pensar los puntos de distancia, el efecto de la expansión …

Ahora también sabemos que la velocidad de la luz en el espacio está constantemente limitada. Nunca puede superar esta velocidad. Entonces, cuando los observamos, podemos determinar cuánta distancia hay comparando otras galaxias (de hecho, algunas supernovas de galaxias que siempre tienen el mismo brillo)

También sabemos que si la distancia entre el objeto aumenta, la frecuencia de la luz se desplazará al rojo. Entonces podemos determinar su velocidad de divergencia de nosotros.

Pero en todos los casos, debido al límite de velocidad de la luz, no podemos ver estas luces que provienen de las galaxias, al azar.
Siempre los determinamos (luces liberadas) en su orden de existencia.

Su respuesta en breve, porque la velocidad de la luz es constante y limitada.

Las galaxias no son idénticas. Tienen diferentes formas, tamaños y colores. Dadas las imágenes de dos galaxias, lo más probable es que sean fácilmente distinguibles. Incluso si la galaxia está muy lejos y no está bien resuelta por su telescopio, seguirá teniendo un espectro característico que no será exactamente idéntico al de otra galaxia (aunque en muchos casos sea similar).

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