¿Dos astronautas en el espacio profundo tienen alguna aceleración el uno hacia el otro debido a sus interacciones gravitacionales mutuas?

Sí, aceleran el uno hacia el otro. La ley de la gravitación actúa sobre todo; no son solo los cuerpos celestes los que lo siguen. Todavía estás en la tierra porque la tierra ejerce una atracción gravitacional sobre ti.

Pero hay una pregunta si todo ejerce una fuerza el uno hacia el otro; deberíamos habernos aferrado el uno al otro. Pero eso no es lo que realmente sucede, porque la fuerza gravitacional se considera una fuerza débil . Sabemos que la atracción gravitacional depende del producto de las dos masas en consideración y es inversamente proporcional al cuadrado de la separación entre ellas.

Tomemos una situacion

Considere dos astronautas ‘Bob’ y ‘Alex’, ambos con un peso ‘m kg, e inicialmente separados por una distancia ‘r’ . Ambos están lejos de cualquier cuerpo celeste, de modo que la fuerza sobre ellos debido a los cuerpos celestes es insignificante o casi nula.

La fuerza ejercida por ‘Bob’ sobre ‘Alex’ o viceversa, viene dada por la ley gravitacional de newton

F = G * m * m / (r ^ 2)

Y esta fuerza creará una aceleración ‘a’, que podemos determinar igualando F = m * a

Entonces, a = G * m / (r ^ 2)

Ahora tanto Alex como Bob se aceleran el uno hacia el otro con la misma aceleración ‘a’ . Ahora, si Alex ve a Bob, desde su perspectiva, Bob se moverá hacia él con el doble de aceleración a, (movimiento relativo).

Si consideramos G = 6.674 08 x 10-11 m3 kg-1 s-2, m = 7 kg (masa promedio de astronautas en el espacio, no es 70 N (peso)) y la separación máxima será igual a R = 10 my separación mínima para ser igual a c = 1 m ya que no son objetos puntuales.

El tiempo que tardan en colisionar será de aproximadamente un mes (26.417 días).

La aceleración del bob wrt Alex es 10 ^ (- 9) ms-2 justo antes de la colisión.

He dado la derivación de cómo llegué a la conclusión anterior.

No, porque su interacción gravitacional es muy pequeña en comparación con los cuerpos grandes como la plantación.

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