¿Mathematics define un número entero con una secuencia infinita de dígitos o la razón de dos números enteros?

A2A: Un número entero con infinitos dígitos tendría el valor de infinito. No está permitido porque el infinito está excluido del conjunto de enteros, no porque la representación de un número sea particularmente significativa.

Los dígitos después del punto decimal tienen un valor decreciente en lugar de un valor creciente. Se permite una secuencia infinita de dígitos después del punto decimal porque no causa ningún problema y permite que el sistema decimal limitado y lisiado represente números racionales (por ejemplo). 1/3 es un número racional que requiere una serie infinita de tres después del punto decimal. 1/10 tiene una representación finita en decimal, pero su representación binaria es infinita. No te opones a los números racionales, ¿verdad?

El símbolo (o representación) no es la cosa.

La secuencia infinita a la derecha de un número, es una convergencia de cualquier cadena finita. Llamo a estas ‘colas base’, pero el término matemático es números P-adic.

Los números no se ajustan a la definición de ‘entero’, sino que tienen propiedades bastante interesantes por derecho propio.

Si uno pone ‘a’ divide ‘b’ y ‘b’ divide ‘a’, la relación es una ‘unidad’, lo que significa que su recíproco también está en el conjunto. Por ejemplo, en el decimal B10T8, el número 66666667 * 3 = 00000001, por lo que estos son recíprocos. También se pueden expresar como poderes mutuos, que 66666667 = 3 ^ 12499999, y viceversa.

Todos los no múltiplos de 2 y 5 pueden construirse como producto de potencias de no más de tres primitivas, de las cuales una es -1. El efecto de 2 y 5 es que son números primos que pueden usarse un número finito de veces. Entonces vemos, por ejemplo, que 00000256 divide 00000512, y viceversa, porque la naturaleza principal de 2 se ha agotado en este punto. En este punto, los múltiplos de 0000000256 han agotado no solo las potencias de 2, sino el efecto de -1 y de la unidad binaria general.

No es fácil entender su lista de ejemplos, que en su mayoría no deberían involucrar secuencias de dígitos infinitamente largas. La referencia a números construibles es especialmente misteriosa, a menos que quizás se esté refiriendo a relaciones construibles en geometría euclidiana (aunque esto es más bien un estiramiento, y las secuencias de dígitos aún son un poco inesperadas).

Hay dos posibles fuentes de confusión.

En primer lugar, una expansión decimal infinita es solo infinita después del punto decimal, no antes. Esto es realmente una abreviatura para una serie infinita absolutamente convergente, y converge porque cada lugar decimal sucesivo escala el dígito que contiene en una cantidad suficientemente menor que el lugar anterior (1/10 más pequeño, para expansiones decimales), y los valores de los dígitos están delimitados (magnitud menor que 10, para expansiones decimales). Es diferente si intenta hacer esto con dígitos antes del punto decimal, o al final de una representación entera decimal “sin sentido”. Al unir otro dígito, no está agregando una cantidad menor al total. Estás multiplicando el total por 10 y quizás agregando más. Si alguna vez tiene un dígito distinto de cero, los dígitos subsiguientes (aún infinitos) ejecutan el total hacia arriba sin límite. Si no tiene nada más que una carrera infinita de cero dígitos, podemos acordar una convención que le dé el valor 0, pero no tiene mucho sentido; aún no podríamos escribirlo, y no nos da nada que “0” (que podemos escribir) no nos dé mejor.

En segundo lugar, el análisis matemático conoce muchas secuencias infinitas de números. Sin embargo, estas no son listas infinitas de * dígitos *, y ciertamente no son expansiones decimales infinitas. Uno o más de los números pueden perfectamente * tener * una expansión decimal infinita, pero generalmente es el número que nos importa, no cómo lo escribimos.

En realidad, escribir * todos * de una expansión decimal sin terminación, un dígito tras otro, es realmente imposible. Incluso si pudiéramos escribirlo de alguna manera, no sabemos cómo tratar con expresiones matemáticas infinitamente largas.

¿Te refieres a un ‘entero’ como [math] 111111 \ ldots [/ math]? O más bien, [matemáticas] \ ldots 11111 [/ matemáticas]?

Claro, pero no se llama un entero.

Si asumimos la base diez (o cualquier base que desee, para el caso), entonces el ‘número’ [matemático] \ ldots 111111 [/ matemático], por ejemplo, sería igual a

[matemáticas] 10 ^ 0 + 10 ^ 1 + 10 ^ 2 + 10 ^ 3 + \ cdots. \ tag {1} [/ matemáticas]

En el conjunto habitual de enteros [math] \ mathbb {Z} [/ math], no existe una instancia de dicho elemento. Dado que cada elemento en [math] \ mathbb {Q} [/ math] es una relación de elementos de [math] \ mathbb {Z} [/ math] (informalmente), entonces no hay instancia de tal elemento en [math ] \ mathbb {Q} [/ math] tampoco.

Sin embargo, esto no significa que una expresión como [math] (1) [/ math] no pueda usarse en diferentes contextos o, de hecho, en diferentes conjuntos. Mientras la suma y la multiplicación estén bien definidas en tales conjuntos, y tengamos otras cosas deseables como el cierre (la suma o el producto de dos de esas “cosas” es otra de esas “cosas”), no hay ninguna razón por la cual [matemáticas] (1) [/ math] no puede representar algo tangible. Por ejemplo, en los números de diez adic, el símbolo [math] \ ldots 111111 [/ math] representa la fracción [math] – \ frac {1} {9} [/ math]. Entonces, jugando un poco más con esto, el símbolo [math] \ ldots 111112 [/ math] representaría [math] \ frac {8} {9} [/ math], porque [math] \ ldots 111111 + 1 = \ ldots 111112 = – \ frac {1} {9} + 1 = \ frac {8} {9} [/ math].

En pocas palabras: hay objetos matemáticos que se pueden representar de esa manera, simplemente no se llaman ‘enteros’.

Los enteros están incrustados en el conjunto de números reales.

¿Cómo se obtienen números racionales de enteros? Dividirlos, respuesta incorrecta, el símbolo 1/2 no tiene ningún significado en el conjunto de enteros. Necesita un conjunto más grande, digamos pares de enteros ordenados, incluso puede configurar la notación / a / b = (a, b) y definir las operaciones correctas en ellos, mostrar cómo pueden integrarse los enteros en esto, mostrando cómo funciona exactamente 5 de la misma manera que (5,1) o (10,2) y luego use la taquigrafía 5 sobre los números racionales para 5/1. Similar es la situación para los números reales.

Hay un conjunto de números reales y un subconjunto de ellos funciona exactamente como los racionales, y un subconjunto más pequeño como los enteros, por lo que no hay razón para distinguirlos. El número entero 5 funciona exactamente igual que 5.000 … o 4.999 … por lo que podemos usar solo 5 como una abreviatura. Todavía 5 como número real es un conjunto de secuencias de racionales que convergen al mismo número.

Las matemáticas no definen nada infinito, como lo implica la palabra misma. Las proporciones, sumas, secuencias de infinito también están indefinidas. Hay, y nunca puede haber, una contradicción. Te refieres a un mal uso del concepto, no a nada calculable.

No y no.

Todos los enteros son de longitud finita en notación posicional.

Hay un nombre para algo similar, número p-adic – Wikipedia