¿Es la matemática una ciencia por derecho propio, o es simplemente una herramienta para ayudar a las ciencias clásicas?

Este es un ejemplo de dónde nuestros idiomas se han desglosado de sus significados originales. Para ser claros, lo que llamamos ciencia hoy en día, no tenía una definición formal que significara empirismo hasta aproximadamente 1000 DC (± 100 años o más), cuando el método científico se volvió más formalizado.

Antes de ese momento, la palabra ciencia (scientia) significaba “conocimiento”, y se refería al estudio de muchas cosas. Por lo tanto, podemos llamar a las matemáticas, la lógica, la informática, la teoría de la información, etc., “ciencias formales”, pero la palabra “ciencia” por sí sola ha tomado un significado diferente.

Entonces, la diferencia es que la “ciencia”, en referencia a la física, la química, la biología, etc., es que son empíricas (observacionales), y las matemáticas, la lógica, la teoría de la información, etc. están impulsadas exclusivamente por definiciones .

Entonces, cuando la gente dice “ciencia”, generalmente significa “sujetos que se adhieren al método científico”. A veces, se refieren a todos los campos STEM. A veces, la gente quiere decir “científicos”. Desafortunadamente, no es posible decir con confianza lo que las personas quieren decir cuando dicen “ciencia” sin contexto.

Todo eso se dice. Las ciencias empíricas se basan en las ciencias formales como herramientas para describir y relacionar cosas.

vea este enlace para mucha más discusión: ¿se considera la matemática una ciencia?

Personalmente, considero que las matemáticas son la única ciencia “pura”, basada en los axiomas y teoremas que son puramente reglas y pruebas de las abstracciones matemáticas de la realidad, abstracciones que se utilizan (por ejemplo) para ayudar a probar las leyes empíricas de la física. Pero, mucha gente tiene muchas ideas diferentes:

Aquí hay una persona razonando desde ese enlace:

La ciencia, como señaló Mauro en su respuesta, está dedicada al conocimiento del mundo físico. Sin embargo, nuestros sentidos son el único medio por el cual la información sobre el mundo físico puede alcanzarnos. Todo lo demás (teorías, generalizaciones, modelos, fórmulas, etc.) es solo una aproximación o imaginario, y solo es útil o valioso como ciencia en la medida en que nos permite predecir lo que detectan nuestros sentidos. La esencia de la ciencia no son las teorías o los modelos, sino la observación, la experimentación y la predicción, las cuales dependen de los sentidos.

La matemática, por el contrario, no tiene sentido. Es posible imaginar una entidad inteligente, encerrada en una caja sin estimulación sensorial, ideando felizmente axiomas y demostrando teoremas a su gusto. Dados los axiomas apropiados, tal entidad podría ser perfectamente capaz de concebir conceptos tales como geometría, números, conjuntos, etc., y podría razonar fácilmente sobre ellos. Sin embargo, sería incapaz de usar esos conceptos para probar algo sobre la naturaleza de la caja en la que se encuentra o el mundo (si lo hay) fuera de esa caja.

Excepto por analogía, las matemáticas no tienen relación con el mundo físico y no pueden verse afectadas por él. Las teorías en matemáticas, como has observado, no pueden ser probadas o refutadas solo por experimentación, mientras que en ciencia esa es la única forma de hacerlo. Del mismo modo, los “hechos” en matemáticas (axiomas) son subjetivos, imaginarios y están sujetos a cambios a su antojo; mientras que los hechos en la ciencia son objetivos, observados y solo pueden ser apoyados o contradecidos con otros hechos, nunca reemplazados.

Creo que las matemáticas son una forma de arte, no una ciencia. Uno de los argumentos más famosos para este punto de vista es el ensayo del matemático Paul Lockhart A Mathematician’s Lament (que recomiendo). Específicamente, argumenta que las matemáticas son el arte de las ideas. Las ideas son cosas increíblemente útiles y, como tal, las matemáticas son una herramienta poderosa que tiene muchas aplicaciones útiles. Sin embargo, no creo que la matemática en sí misma deba considerarse una ciencia.

La matemática no es una ciencia empírica. Es la ciencia de los mundos imaginarios construidos completamente a partir de algunos axiomas (supuestos) y definiciones. La investigación de estos mundos imaginarios generalmente se realiza utilizando una lógica rigurosa en lugar de observación y experimentación.

En el proceso de estas investigaciones, se desarrollan una variedad de herramientas de precisión que pueden usarse también para verificar la consistencia de las hipótesis en la ciencia empírica y predecir sus consecuencias.

Si una ciencia natural tiene axiomas subyacentes muy simples, entonces las herramientas matemáticas demuestran ser muy predictivas para esa ciencia. Este es el caso de la física. Es mucho menos el caso de la biología o la psicología.