¿Puedes dibujar una transformación de Lorentz con un diagrama de Feynman que haga obvio a Faraday y la regla de la mano derecha?

Traté de responder esta pregunta, pero decidí que tenía que ir a un rumbo diferente al que esperaba el autor de la pregunta.

El hecho es que los diagramas de Feynman son malos para comprender la ley de Coulomb (electrostática), o la ley de Biot-savart, incluso para el caso simple de una carga de punto móvil. Tenga en cuenta que los diagramas de Feynman no son todos poderosos: son una herramienta para calcular elementos de matriz S, que son las amplitudes para que una partícula comience en un estado específico en el pasado infinito y termine en otra en el futuro infinito. Esto es perfecto para la física de partículas, ¡pero no es excelente para la electrostática y el magnetismo, donde nos gustaría hablar sobre los estados de las partículas ahora y dentro de 3 segundos! Lo que generalmente verá hecho en la teoría de campo es que se calculará el diagrama básico de Feynman para el intercambio de un fotón, dando la amplitud para una transición de un estado con momento p a uno con momento p ‘. Luego, el texto mostrará que la transformación de Fourier de esto es el potencial de Coulomb. Más honestamente, creo, debería mostrar que la transformación de Fourier del potencial de Coulomb tiene un significado físico como una amplitud de dispersión (es decir, a través de la aproximación de Born), y que esto está de acuerdo con la amplitud de dispersión recién calculada. Trabajar hacia atrás desde un elemento de matriz S a un potencial (que se puede entender que genera una ecuación de movimiento) es un poco dudoso para mí. Realmente me gustaría ver una forma rigurosa de hacerlo, si alguien conoce uno o puede producirlo.

Quizás la mejor conexión conceptual de la teoría de campo al antiguo electromagnetismo regular se pueda encontrar a través de los métodos funcionales de la teoría de campo. Se puede encontrar una gran introducción a algunas de estas técnicas en la “Teoría del campo cuántico en pocas palabras” de Zee. Al principio de este libro de texto, Zee muestra cómo calcular la cantidad

[matemáticas] W (J) = – \ frac {1} {2} \ iint d ^ 4 xd ^ 4 y J (x) D (xy) J (y) [/ matemáticas]

donde J (x) es una función fuente que representa la distribución de cargas y D (xy) es el propagador, que expresa la amplitud para que un fotón viaje de y a x y produzca una interacción electromagnética. Esta cantidad es un operador extraño en el espacio de posición, y es más fácil trabajar en el espacio de impulso donde es una función del impulso del fotón:

[matemáticas] W (J) = – \ frac {1} {2} \ int \ frac {d ^ 4 k} {(2 \ pi) ^ 4} J (k) ^ * \ frac {1} {k ^ 2-m ^ 2 + i \ epsilon} J (k) [/ matemáticas]

El parámetro m es una “masa del fotón” que se llevará a 0 al final (necesitamos hasta entonces para que las cosas converjan). ¿Por qué es interesante esta cantidad W (J)? Sin entrar en demasiados detalles, corresponde a

[matemáticas] e ^ {iW (J)} \ propto \ langle 0 | e ^ {- iHT} | 0 \ rangle = e ^ {- iET} [/ math]

donde T es un período de tiempo largo (largo generalmente significa casi infinito). Entonces, podemos calcular y W (J) y luego establecer

[matemáticas] iW = -iET [/ matemáticas]

para obtener una expresión de la energía de la interacción. Zee muestra que, usando una función fuente que representa dos cargas estacionarias en posiciones separadas

[matemáticas] J (x) = \ delta ^ 3 (\ vec x – \ vec x_1) + \ delta ^ 3 (\ vec x – \ vec x_2) [/ matemáticas],

la energía de interacción es

[matemáticas] E = \ frac {e ^ {- mr}} {4 \ pi r} \ to \ frac {1} {4 \ pi r} [/ math]

que es solo el potencial de Coulomb. Entonces, si acepta que este es el potencial clásico para el electromagnetismo, está saltando y alejándose de la ley de Coulomb.

Intenté audazmente repetir este cálculo, pero con una fuente que involucra cargas móviles:

[matemáticas] J (x) = \ delta ^ 3 (\ vec x – (\ vec x_1 + \ vec v_1 t)) + \ delta ^ 3 (\ vec x – (\ vec x_2 + \ vec v_2 t)) [ /matemáticas]

Esto empantanado. De hecho, cuanto más lo pienso, probablemente esto ni siquiera sea lo correcto. Voy a volver y pensar en esto, y si termina siendo fructífero, agregaré algo al respecto.