Cómo demostrar que [math] p \ leftrightarrow q [/ math] y [math] \ neg p \ leftrightarrow \ neg q [/ math] son ​​lógicamente equivalentes sin usar la tabla de verdad

Divide el bicondicional en la conjunción de dos condicionales, p -> q y q -> p. Cada uno de estos es equivalente a su contrapositivo. La conjunción de los dos contrapositivos es la bicondicional de las negaciones, QED.

¿Cómo puedo demostrar que [math] p \ leftrightarrow q [/ math] y [math] \ neg p \ leftrightarrow \ neg q [/ math] son lógicamente equivalentes sin usar la tabla de verdad?

¡Ni siquiera puede hacerlo con una tabla de verdad a menos que su lógica esté definida por dicha tabla de verdad! ¿Por qué? Porque no es cierto en muchas lógicas [matemáticas] \ ddot \ fruncir el ceño [/ matemáticas]

Si desea hacer la prueba en alguna lógica estándar, los operadores generalmente se definirán en términos de otros operadores hasta algunos operadores básicos como “not” ([math] \ lnot [/ math]), “and” ([ matemática] \ tierra [/ matemática]) y “o” ([matemática] \ lor [/ matemática]) cuyas relaciones son axiomáticas.

Por lo tanto, podría tener:

[matemáticas] \ quad p \ leftrightarrow q \ equiv p \ rightarrow q \ land q \ rightarrow p [/ math]

[matemáticas] \ quad p \ rightarrow q \ equiv \ lnot p \ lor q [/ math]

junto con los axiomas:

1. [matemáticas] \ lnot (\ lnot p) \ Leftrightarrow p [/ math]
2. [matemáticas] \ lnot (p \ land q) \ Leftrightarrow \ lnot p \ lor \ lnot q [/ math]
3. [matemáticas] \ lnot (p \ lor q) \ Leftrightarrow \ lnot p \ land \ lnot q [/ math]

Las dos últimas se conocen como Leyes de De Morgan para la lógica proposicional (y pueden o no ser axiomáticas dependiendo de la presentación).

De lo que puedes deducir:

[matemáticas] \ quad \ lnot p \ leftrightarrow \ lnot q [/ math]

[matemáticas] \ Leftrightarrow \ lnot p \ rightarrow \ lnot q \ land \ lnot q \ rightarrow \ lnot p [/ math]

[matemáticas] \ Leftrightarrow (p \ lor \ lnot q) \ land (q \ lor \ lnot p) [/ math]

[matemáticas] \ Leftrightarrow \ lnot (\ lnot (p \ lor \ lnot q) \ lor \ lnot (q \ lor \ lnot p)) [/ math]

[matemáticas] \ Leftrightarrow \ lnot ((\ lnot p \ land q) \ lor (\ lnot q \ land p)) [/ math]

[matemáticas] \ Leftrightarrow \ lnot (\ lnot p \ land q) \ land \ lnot (\ lnot q \ land p) [/ math]

[matemáticas] \ Leftrightarrow (p \ lor \ lnot q) \ land (q \ lor \ lnot p) [/ math]

[matemáticas] \ Leftrightarrow q \ rightarrow p \ land p \ rightarrow q [/ math]

[matemáticas] \ Leftrightarrow p \ leftrightarrow q \ quad \ blacksquare [/ math]

Sugerencia: Primero, pruebe [matemáticas] [p \ iff q] \ implica [\ neg p \ iff \ neg q] [/ matemáticas]. Comience asumiendo [math] p \ iff q [/ math]. Utilice la definición de [math] \ iff [/ math] y la regla contrapositiva.

Depende de lo que quieras decir con “sin tabla de verdad”. Básicamente, esta es una tautología clásica que se define a través de tablas de verdad. No es una tautología intuicionista que se define a través de la evidencia.

Puede consultar Reglas de lógica para reglas de lógica.

Una respuesta del primer principio, que incluso un estudiante de secundaria puede seguir y apreciar: enderezar las cuatro filas de la tabla de verdad para p <-> q, y lo mismo para (no p) <-> (no q). Los valores de verdad coincidirán para cada fila / combo. de valores de verdad para p y q, por lo tanto, las dos fórmulas lógicas proposicionales son equivalentes.

Puede probar cualquier otro sistema de prueba conocido.

1. Cálculo axiomático.
2. Deducción natural.
3. Cálculo secuencial.
4. Cuadros analíticos.
5. Sistema de resolución.

Y así. Como todos están completos, podrá probar la fórmula [matemáticas] (p \ equiv q) \ equiv (\ neg p \ equiv \ neg q) [/ matemáticas] que es una tautología.