¿Por qué la teoría del electromagnetismo de Clerk-Maxwell necesita 4 ecuaciones en lugar de una sola, como la ley de gravitación de Newton?

En realidad, en su forma original, las ecuaciones de Maxwell eran muchísimas más que cuatro en número. Podemos agradecer a Oliver Heaviside por la forma vectorial más manejable.

Pero la verdadera razón es … bueno, aparte del hecho de que la gravedad newtoniana es mucho más simple (solo un potencial escalar), otra razón es que estamos eligiendo expresar identidades matemáticas de cuatro dimensiones en un formalismo tridimensional bastante engorroso.

Déjame mostrarte lo que quiero decir. ¿Quieres ver las ecuaciones de Maxwell en toda su gloria de cuatro dimensiones? Pues aquí está:

[matemáticas] J ^ \ lambda = \ dfrac {1} {\ sqrt {-g}} \ partial_ \ kappa [\ sqrt {-g} g ^ {\ kappa \ mu} g ^ {\ lambda \ nu} (\ partial_ \ mu A_ \ nu- \ partial_ \ nu A_ \ mu)]. \ tag * {} [/ math]

¿Qué es esto, preguntas? Es la definición de la corriente de cuatro dimensiones [matemática] J ^ \ lambda [/ matemática], en la forma más general posible, válida en el espacio-tiempo arbitrario y curvo de la relatividad general.

¿La corriente, dices? Bien, eso da la ley de Gauss y la ley de Ampère. ¿Qué pasa con el resto de las ecuaciones de Maxwell? Bueno, ya ves, esa es la belleza … son identidades matemáticas. Ni siquiera necesitas decirlos. Mientras la entidad fundamental de la teoría, la 4-potencial [matemática] A_ \ mu [/ matemática], es un campo vectorial al menos tres veces diferenciable, estas identidades, es decir, la ley de Gauss para el magnetismo, la ley de Faraday y la conservación de la carga ley: se satisfacen automáticamente.

¿Todavía demasiado complicado? ¿Demasiados índices desagradables que solo les gustan a los relativistas? Permítanme usar el lenguaje de formas diferenciales y escribir

[matemáticas] J = {\ star {\ rm d}} ​​{\ star {\ rm d}} ​​A. \ tag * {} [/ math]

Lo mismo que antes, notación más simple, pero aún expresa la ley de Gauss y Ampère.

Ahora, cuando explicamos qué significan realmente estas ecuaciones, calculando valores tridimensionales como el campo eléctrico y magnético, las cosas se complican. Pero, de nuevo, ¿has visto cuán complicadas pueden ser las cosas con la gravedad newtoniana cuando, por ejemplo, quieres mapear el campo gravitacional en el entorno de la Tierra modelando el interior de la Tierra usando armónicos esféricos? Cosas desagradables.

La declaración es incorrecta. ¿Estás hablando de ecuaciones escalares, ecuaciones vectoriales o ecuaciones tensoras? Las ecuaciones de Maxwell se pueden expresar como una ecuación. En realidad, la forma tensorial es la forma utilizada para dar cuenta de los efectos relativísticos.

La verdad es que se necesitan más ecuaciones para definir los términos, por lo que incluso el conjunto común de equestings no es suficiente.

Wilhelm Weber (un estudiante de Gauss) publicó las ecuaciones correctas antes de Maxwell. Maxwell estaba al tanto de la teoría del potencial retardado de Weber, pero no entendió la teoría de Weber y, por lo tanto, no la incluyó en sus publicaciones. Maxwell no permitió la propagación en el tiempo del campo eléctrico. Creo que más tarde publicó un apéndice que reconocía que la teoría de Weber era consistente con la conservación de la energía. La electrodinámica de Weber fue una interpretación de la conjetura de Carl Gauss de que la electrodinámica no sería consistente sin permitir el tiempo de propagación del campo eléctrico.

La electrodinámica de Weber se basó en la teoría del potencial retardado conjeturada por Gauss. Se ha perdido en la mayoría de los planes de estudio de física desde el siglo XVIII. Se estableció un plan de estudios en las universidades alemanas antes de Maxwell. Se rumorea que Einstein casi falló su tesis doctoral porque no entendía la electrodinámica de Weber. Es irónico que las teorías de la relatividad no contengan el potencial retardado.

Es irónico que la Ley de Gauss no sea consistente con el potencial retardado. Las ecuaciones magnéticas siguen como consecuencia de la ecuación única de la conjetura de Gauss.

Esto está documentado históricamente en los trabajos de las publicaciones de Andre Assisi sobre “Electrodinámica de Weber”. Vale la pena leerlo para aquellos que tienen curiosidad por cómo esta teoría se ha evaporado del plan de estudios de física actual. También vale la pena señalar que a la teoría gravitacional de Newton también le falta el margen para el potencial retardado. Cuando se incluye un término similar magnético adicional aparece en las ecuaciones gravitacionales newtonianas. Esto se usó en la predicción de Paul Gerber que precedió al trabajo de Einstein sobre el perihelio y fue una predicción precisa de la precesión de Mercurio en el perihelio. También se ha perdido en el plan de estudios de física.

Todas las otras respuestas están bien, pero si quieres la versión resumida, la respuesta es que puedes escribirlas todas en una ecuación, solo tienes que cambiar la notación. Si combina los campos E y B en un tensor llamado F, y las fuentes en un vector 4 llamado J, terminará con

[matemáticas] \ parcial_ \ mu F ^ {\ mu \ nu} = J ^ \ nu [/ matemáticas]

Si quieres los detalles esenciales:

Puede hablar de E en términos de un potencial escalar y de B en términos de un potencial vectorial. Agrupe estos potenciales en un vector con 4 componentes (el primero es el potencial escalar, los últimos 3 son componentes del potencial vectorial) llamado [math] A ^ {\ mu} [/ math]. Entonces, si define [matemática] F ^ {\ mu \ nu} = \ partial ^ \ mu A ^ {\ nu} – \ partial ^ \ nu A ^ {\ mu} [/ math], resulta que si calcula cada componente de F obtienes una matriz de E y B. Del mismo modo, haga un vector 4 [matemático] J ^ \ nu [/ matemático] fuera de la densidad de carga, y el vector de densidad actual y estos son sus fuentes. Eso es lo que significan todos los términos en la ecuación. La ecuación anterior contiene las 2 ecuaciones de Maxwell con fuentes, mientras que las otras 2 siguen matemáticamente a partir de la definición de F en términos de A (es antisimétrica, etc.) y, por lo tanto, no es necesario que se indique explícitamente.

Si quieres los detalles realmente esenciales:

En realidad, comienza definiendo una densidad lagrangiana en términos de F y J, luego calcula las ecuaciones de Euler Lagrange (para los campos), y escupen la ecuación anterior. Del mismo modo, podría definir una densidad hamiltoniana y calcular las ecuaciones de movimiento de Hamilton y terminar con el mismo resultado.

En realidad, la ley de gravitación de Newton es exactamente la ley de Gauss para los campos eléctricos, por lo que si estuviéramos comparando la ley de gravitación de Newton con la electrostática , veríamos que ambos se describen con la misma ecuación única.

Sin embargo, la razón por la que hay cuatro ecuaciones de Maxwell es que el campo electromagnético es dinámico , es decir, puede propagarse a través del espacio en ausencia de una fuente como una onda electromagnética, y al unir la ley de Gauss para campos eléctricos con las otras tres, puedes Captura este comportamiento.

Cuando Newton escribió su ley de gravitación, no sabía nada de esto, por supuesto, pero como sabemos hoy, el campo gravitacional también es dinámico, propagándose como ondas gravitacionales. Esto es capturado por la teoría completa de la gravedad, la relatividad general, que puede escribirse como un conjunto de 16 ecuaciones en forma de componentes.

4 son la mayoría de las veces suficientes para ingenieros. Cada uno describe lo que está sucediendo cuando se trata de entender el electromagnetismo. Según tengo entendido, relacionan las diversas propiedades del electromagnetismo juntas y representan cómo se comportan y se producen las propiedades magnéticas y eléctricas.

Porque se siguen de 4 leyes físicas separadas, independientemente verificables. Recuerde que Newton tiene una ley de gravitación y luego otras 3 leyes cinemáticas. Por lo tanto, los efectos gravitacionales requieren todas estas leyes y la ecuación de fuerza gravitacional solo expresa una de ellas.

Aún más sorprendente, las ecuaciones de Maxwell se pueden unificar en una sola ecuación en notación de 4 vectores. Formulación covariante del electromagnetismo clásico – Wikipedia

Porque muestran cuatro aspectos diferentes del campo EM. Sería mucho menos útil (y menos comprensible) si todo se desmoronara. Por ejemplo: una ecuación dice que no hay monopolos magnéticos.