¿Existe un vínculo directo entre la fuerza gravitacional y la dilatación del tiempo gravitacional?

Sí, de hecho tanto, que al menos aquí en la Tierra son una y la misma cosa.

Es posible que haya escuchado que la gravedad es causada por la masa que causa la curvatura del espacio-tiempo. Esa es la hipótesis de la teoría de la relatividad general de Einstein. En ausencia de gravedad, los intervalos espacio-temporales se definen por [matemáticas] {dx} ^ 2 + {dy} ^ 2 + {dz} ^ 2 – {dt} ^ 2 [/ matemáticas]. Esto también se llama la métrica. Observe que esto es muy similar a la fórmula para distancias entre 2 puntos en geometría cartesiana donde la diferencia en las coordenadas de los dos puntos es dx, etc. Eso es porque eso es lo que es, una fórmula para la distancia entre dos puntos en el espacio-tiempo cuando el espacio-tiempo no es curvo.

Cuando se curva, la fórmula cambia, los términos obtienen algunos coeficientes que son funciones de la posición en el espacio un tiempo y también pueden aparecer algunos términos cruzados, por ejemplo, dx.dt, etc.

Son estos coeficientes los que conducen al fenómeno de la gravedad y también a la dilatación del tiempo. ¿Cómo conduce a la dilatación del tiempo? Digamos que la fórmula en el espacio curvo es algo así como:

[matemáticas] A ({dx} ^ 2 +…) – B {dt} ^ 2 [/ matemáticas]

Si estamos mirando un intervalo de tiempo entre dos eventos en el mismo punto en el espacio, los términos del espacio caen a 0 y nos queda solo el término de tiempo. Si el coeficiente B es una función de la distancia desde algún lugar, entonces el tiempo entre 2 eventos tendrá un valor diferente a dos distancias diferentes del evento. Por ejemplo, el tiempo que tarda la manecilla de segundos de un reloj en moverse una vez es, por definición, 1 segundo. Eso se convierte en el dt en la fórmula anterior. Pero el tiempo real transcurrido depende de B, que depende de la distancia desde algún punto, como hemos supuesto. Si B es más grande en un punto, el tiempo se moverá más lento allí.

Entonces, ahora sabemos cómo la curvatura del espacio-tiempo provoca la dilatación del tiempo en un punto en relación con otro, pero ¿qué tiene que ver esto con la fuerza gravitacional?

La siguiente hipótesis de la Teoría general de la relatividad es que todos los objetos se mueven en geodésicas del espacio-tiempo cuando no están bajo la influencia de una fuerza. La gravedad no se cuenta como una fuerza aquí. Las geodésicas son los caminos más cortos entre dos puntos en un espacio-tiempo curvo. Entonces, si desea escribir la ecuación de movimiento de una partícula libre en un espacio-tiempo curvo, escriba la ecuación geodésica.

Como la geodésica es el camino más corto y la métrica que encontramos anteriormente era la definición de longitud en el espacio-tiempo curvo, no debería sorprendernos que la ecuación geodésica esté profundamente vinculada con la métrica. Las matemáticas están involucradas, pero resulta que cuando escribes la ecuación geodésica para la métrica del espacio-tiempo alrededor de la Tierra, tiene la siguiente forma:

[matemáticas] \ frac {d ^ 2r} {{dt} ^ 2} = – \ frac {dB} {dr} [/ matemáticas]

He cambiado a coordenadas polares aquí, r es la distancia desde el centro de la tierra.

Y la B aquí es la misma B (casi, en realidad, la B aquí es 1-B, pero la distinción no es importante porque estamos tomando una derivada) que teníamos como coeficiente de dt en la métrica. Y ahora, si observa de cerca la ecuación geodésica, la relación entre la fuerza gravitacional y la dilatación del tiempo debería quedar clara.

El lado izquierdo es solo la aceleración de la partícula libre. ¿Cuál es la aceleración de una partícula que cae libremente? La aceleración debida a la gravedad, g. Entonces la ecuación geodésica resulta ser la ecuación de aceleración debida a la gravedad. Entonces vemos que la aceleración debida a la gravedad y la dilatación del tiempo dependen de la misma cosa B, al menos cerca de la superficie de la Tierra.

¡Y B por cierto es el potencial gravitacional!

El vínculo directo es con el gradiente de dilatación del tiempo (la velocidad a la que la dilatación del tiempo cambia de un lugar a otro), ya que la dilatación del tiempo es una medida del potencial gravitacional.

¿Por qué hay tantas respuestas largas aquí?

Creo que algunos físicos, Leonard Susskind, están analizando la dilatación del tiempo gravitacional debido a que la presencia de la materia dentro de la matriz espacio-temporal es la CAUSA de la fuerza gravitacional.

Por supuesto. Cuanto más la gravedad, más lento pasa el tiempo.