Ya estaba escribiendo mi borrador, luego tuve que ir al baño (ehm, lo siento). Cuando vuelvo, la respuesta de Neal King aquí prácticamente da como resultado la misma conclusión que la mía, así que pensé que no tenía que publicar mi respuesta. Pero hoy pensé que tenía que terminar lo que comencé: p. Así que, aquí vamos.
La primera vez que vi sus preguntas, noté dos suposiciones problemáticas:
- La q inicial en el condensador es 0
- El circuito cerrado no tiene resistencia.
Cada suposición es una contra la otra. Por ejemplo, para que q inicial sea igual a 0. El circuito cerrado debe tener resistencia, por lo que el voltaje de la fuerza electromotriz se cae por la resistencia (debido a la Ley de Kirchoff). Si el circuito no tiene resistencia, la q inicial no debe ser 0, el capacitor tendrá una diferencia de voltaje al instante (nuevamente debido a la Ley de Kirchoff), por lo que tendrá una q inicial distinta de cero en el capacitor.
Si aceptamos 2das suposiciones
Ahora, digamos que el circuito realmente no tiene resistencia, entonces no podemos decir que q inicial es 0. El capacitor almacenará la carga igual a [matemática] q = uC [/ matemática] (Sea la diferencia de voltaje del capacitor). Sin embargo, como u será igual a la fuerza electromotriz de la varilla, la diferencia de voltaje total del circuito es cero, entonces no hay corriente en funcionamiento. Este circuito cerrado se comportará como un circuito abierto porque el capacitor está lleno. Como no hay corriente en la barra, la barra no tendrá ninguna fuerza. Por lo tanto, sin aceleración, sin cambio de velocidad. Concluido por, la velocidad final será la misma que la velocidad inicial.
Esta respuesta parece no ser la solicitada por la pregunta, así que intentemos con otro enfoque.
Si aceptamos los primeros supuestos
La consecuencia de esto es que el circuito cerrado tendrá que contener una resistencia. ¿Pero dónde está esta resistencia? Al igual que el enfoque de Neal, consideré que la bobina también tiene resistencia por su longitud. Pero, usando estos supuestos, llegué a ecuaciones diferenciales con dos variables diferenciables, lo cual es problemático de resolver (lo descarto en el primer intento). Entonces, consideremos que la resistencia está dentro de la barra, por lo que el circuito tendrá una resistencia constante todo el tiempo (independiente de t).
La imagen de Neal ya es buena como está. No haré un dibujo similar.
Según la Ley de Kirchoff, tendrá un conjunto de ecuaciones como esta:
Dejar:
e: fuerza electromotriz causada por la varilla
R: resistencia de la barra
I: la corriente que se ejecuta en el circuito (también la misma en el condensador)
u: la diferencia de voltaje del condensador
[matemáticas] e-IR-u = 0 [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que pongo signo negativo en IR yu porque ambos son caída de voltaje (convención de Kirchoff).
Ya deduces cuánto es e. Es correcto. Vamos a usar eso.
[matemáticas] e = BLv [/ matemáticas]
Cualquiera que sea la dirección e, no tenemos que molestarnos, ya que la dirección de la corriente se alineará en consecuencia. Si lo relaciona con las ecuaciones de Maxwell, el flujo magnético que perfora la superficie del circuito está aumentando, por lo que habrá una fuerza equivalente para intentar disminuir la velocidad. Esto es para que se conserve la energía total.
La diferencia de voltaje del condensador será proporcional a la carga que almacenó. Como q inicial es 0, luego u inicial es 0, el condensador se comporta como si no estuviera allí en t = 0. En otras palabras, la corriente que se ejecuta en el circuito es máxima. No necesitamos saberlo, pero solo recuérdalo.
Ahora, ¿qué vamos a hacer con esto? Tenemos I y V, no te conocemos. Tenemos que encontrar una relación entre usted y yo. Suponiendo que este problema sea de física de nivel universitario. Entonces probablemente ya conozcas cálculo de nivel básico. Estamos tratando de encontrar la ecuación diferencial de este problema y resolverlo.
Inspeccione la relación del condensador:
[matemáticas] C = \ frac {q} {u} [/ matemáticas]
[matemáticas] uC = q [/ matemáticas]
Con el tiempo, el condensador se llenará con una carga creciente (porque hay corriente en funcionamiento). La diferencia de voltaje de u aumentará. Debido a esto, la corriente en el circuito tendrá que disminuir para obedecer la Ley de Kirchoff. Por lo tanto, existe una relación entre la corriente en el circuito y la carga que almacena el condensador. Con el tiempo, la corriente disminuirá mientras aumenta la carga. De hecho, si tomamos el tiempo wrt derivado:
[matemáticas] \ dot {u} C = \ dot {q} = I [/ matemáticas]
Esto se debe a que la carga en sí es lo que la corriente entrega al condensador. Entonces, para cada tiempo infinitesimal, la diferencia de carga almacenada en el capacitor es en realidad la diferencia de carga que entrega la corriente. Concepto duro al principio.
Tenga en cuenta que si no está familiarizado, estoy usando la notación punto sobre letra para representar el tiempo derivado del wrt. Es problemático escribir [matemáticas] \ frac {d} {dt} [/ matemáticas] en TeX una y otra vez después de esto. Vamonos.
Entonces, de esto:
[matemáticas] e-IR-u = 0 [/ matemáticas]
sustituyendo e:
[matemáticas] BLv-IR-u = 0 [/ matemáticas]
toma la primera derivada wrt time sobre la ecuación.
[matemáticas] BLa- \ dot {I} R- \ dot {u} = 0 [/ matemáticas]
Relación condensador sustituto
[matemáticas] BLa- \ dot {I} R- \ frac {I} {C} = [/ matemáticas]
Ahora necesitamos una ecuación más para resolver esto. Obtenemos esto de la Ley de Newton aplicada a la fuerza que experimenta la barra.
Ya deriva la ecuación correcta. Vamos a usar eso
[matemáticas] -BIL = ma [/ matemáticas]
¿Por qué el signo negativo? Bueno, obviamente, la varilla debe desacelerar para obedecer el principio de conservación de energía. Esa es la breve explicación.
Tenemos una. Qué conveniente, sustituya eso a nuestra primera ecuación.
[matemáticas] – \ frac {B ^ 2L ^ 2I} {m} – \ dot {I} R- \ frac {I} {C} = 0 [/ matemáticas]
Esta es una ecuación diferencial de primer orden de I, relativamente fácil de resolver.
La forma no tan correcta de resolverlo (tu profesor de cálculo te regañará):
Reorganice la ecuación de esta manera:
[matemáticas] \ dot {I} = – (\ frac {B ^ 2L ^ 2} {mR} + \ frac {1} {CR}) I [/ matemáticas]
Por el amor de Dios, eso es muy feo y problemático de escribir. Solo digamos:
[matemáticas] \ alpha = \ frac {B ^ 2L ^ 2} {mR} + \ frac {1} {CR} [/ matemáticas]
Entonces, se convirtió en:
[matemáticas] \ dot {I} = – \ alpha I [/ matemáticas]
Prepárate para ser regañado por tu profesor de cálculo. Esto es equivalente al resolver:
[matemáticas] \ int_ {I_0} ^ I \ frac {1} {I} dI = \ int_0 ^ t- \ alpha dt [/ matemáticas]
[matemáticas] ln \ frac {I} {I_o} = – \ alpha t [/ matemáticas]
[matemáticas] I = I_0e ^ {- \ alpha t} [/ matemáticas]
Primero, inspeccione la ecuación. Cuando t = 0, [matemáticas] I = I_0 [/ matemáticas], que el máximo I al principio. Cuando t se acerca al infinito, me acerco a 0. Cuando me acerco a 0, la fuerza sobre la barra disminuyó y la barra se acercará asintóticamente a la velocidad terminal, que es lo que intentaremos encontrar.
Okay. Tenemos a I. ¿Y ahora qué? Bueno, tratamos de encontrar v, por supuesto:
Toma esto:
[matemáticas] -BIL = ma [/ matemáticas]
[matemáticas] a = – \ frac {BL} {m} I = – \ frac {BL} {m} I_0e ^ {- \ alpha t} [/ matemáticas]
Por mi bien, por favor deja:
[matemáticas] \ beta = \ frac {BLI_0} {m} [/ matemáticas]
Integre ambos lados para obtener v. Mientras estamos en ello, ¿por qué no obtenemos v final ([math] v_f [/ math]) directamente?
[matemáticas] \ int_ {v_0} ^ {v_f} dv = \ int_0 ^ \ infty- \ beta e ^ {- \ alpha t} [/ matemáticas]
[matemáticas] v_f-v_0 = – \ frac {\ beta} {\ alpha} [/ matemáticas]
[matemáticas] v_f = v_0- \ frac {\ beta} {\ alpha} [/ matemáticas]
Ok, concluimos que la velocidad terminal es de hecho menor que la velocidad inicial. Ahora tenemos que encontrar [matemáticas] I_o [/ matemáticas]. ¿Recuerdas lo que dije la primera vez? En t = 0, el condensador no tenía carga almacenada (q inicial = 0). Entonces la Ley de Kirchoff para el circuito se convierte en:
[matemáticas] BLv_0-I_0R = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] I_0 = \ frac {BLv_0} {R} [/ matemáticas]
Sustituya esto por [math] \ alpha [/ math] y [math] \ beta [/ math], notará que su primer método es el correcto:
[matemáticas] v_f = \ frac {m} {B ^ 2L ^ 2C + m} v_0 [/ matemáticas]
Al igual que lo que dijo Neal, no aparece Resistencia aquí. Mi razón también es la misma que Neal.
Okay. Eso concluye sobre cómo resolverlo usando su primer método.
Resolverlo utilizando el principio de conservación de energía.
Resolver esto usando la conservación de energía es complicado. Tienes que entender realmente a dónde va toda esta energía. Discutamos esto cualitativamente primero. Sabemos que la velocidad de la barra debería disminuir. Entonces su energía cinética está disminuyendo. ¿A dónde va esta energía cinética? ¡Esta energía cinética se usa para mover la carga dentro del circuito! Si bien tiene corriente, la carga se mueve debido a la energía convertida.
Ahora, observamos por qué la carga se está moviendo. En realidad, lo pones en el primer método:
[matemáticas] -BIL = ma = F [/ matemáticas]
Esa es la fuerza que causó la corriente! Esa fuerza
Desde el punto de vista de la conservación mecánica de la energía. La cantidad de trabajo que realizó la fuerza cambiará la energía cinética. Básicamente significa:
[matemáticas] W = \ Delta {E_k} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ int {F \ cdot ds} = \ Delta {E_k} [/ matemáticas]
Donde ds es los cambios infinitesimales en la ruta del objeto. Pero tuvimos un problema. No queremos calcular I, ¿verdad? Entonces, parece una integral que no queremos resolver.
Todavía hay esperanza. Calculamos el diferencial infinitesimal de energía. Básicamente significa:
[matemáticas] F {ds} = d {E_k} [/ matemáticas]
[math] -BIL {ds} = d {\ frac {1} {2} mv ^ 2} = mv {dv} [/ math]
Ahora, aquí está el arte. Usando la regla de la cadena:
[matemáticas] -BIL {ds} = – BLI {ds} = – BL \ frac {dq} {dt} {ds} = – BL {dq} \ frac {ds} {dt} [/ math]
dado que ds siempre tiene la misma dirección que v, básicamente esto significa:
[matemáticas] -BL {dq} v = -BLv {dq} [/ matemáticas]
Ahora tenemos:
[matemáticas] -BLv {dq} = mv {dv} [/ matemáticas]
dividir por v:
[matemáticas] -BL {dq} = m {dv} [/ matemáticas]
integre ambos lados y calcule directamente la condición final, produzca:
[matemáticas] – \ int_ {q_0} ^ {q ^ f} BL {dq} = \ int_ {v_0} ^ {v_f} m {dv} [/ math]
[matemáticas] BL (q_0-q_f) = m (v_f-v_0) [/ matemáticas]
Ahora, ¿cómo sabemos [matemáticas] q_f [/ matemáticas]?
Fácil, [matemática] q_f [/ matemática] es la cantidad de carga finalmente almacenada en el condensador.
En la condición final, no hay una ejecución actual. Lo que significa (¿recuerda cuál es nuestra primera discusión?) La diferencia de potencial del condensador es la misma que la fuerza electromotriz e.
[matemáticas] u_f = \ frac {q_f} {C} = BLv_f [/ matemáticas]
[matemáticas] q_f = CBLv_f [/ matemáticas]
Sustituya esto, y obtendrá el mismo resultado. Voila!
[matemáticas] v_f = \ frac {m} {B ^ 2L ^ 2C + m} v_0 [/ matemáticas]
Nota:
En realidad, puede obtener este resultado directamente manipulando [math] F = ma [/ math] y obtener la misma derivación. Después de todo, la conservación de energía mecánica se deriva de la segunda ley de Newton.
EDITAR:
Resolverlo usando el principio de conservación de energía en el circuito
Es bastante interesante derivar la respuesta de la conservación de energía en el circuito , como lo hizo OP. La razón por la cual el método que OP utiliza resulta incorrecto es porque está en conflicto con los supuestos (no hay resistencia pero q inicial es 0). Podemos usar nuestro modelo actual para llegar al mismo resultado.
Tenemos que tener cuidado al derivar el resultado de la conservación de la energía. Un signo incorrecto puede conducir a resultados incorrectos. Tenemos que considerar a dónde va la energía para poner el signo correcto.
Ahora considere esto, la energía se pierde de la energía cinética de la barra. Esta energía va directamente al circuito como energía de fuerza electromotriz, que a su vez es disipada por la resistencia y parcialmente almacenada por el condensador. La razón principal por la cual la respuesta del OP es incorrecta es porque la energía disipada por la resistencia no se cuenta. Si contamos eso, podemos llegar a la misma respuesta.
Sin embargo, contar la energía perdida por la resistencia es bastante difícil, como se muestra más adelante. Sigamos adelante.
Considere la ecuación de la Ley de Kirchoff que derivamos anteriormente:
[matemáticas] e-IR-u = 0 [/ matemáticas]
Teníamos 3 términos en él. Podemos transformar esta expresión para obtener el principio de conservación de energía. Consideremos cada término y cómo podemos calcular cada energía del término.
Energía de fuerza electromotriz
Podemos obtener fácilmente la energía de la fuerza electromotriz e. Después de todo, la energía proviene de la energía cinética perdida por la varilla, solo podemos calcularla a través de la diferencia de energía cinética.
Energía de carga almacenada en el condensador
También podemos obtener fácilmente la energía del condensador. Se expresó como energía almacenada por el condensador, generalmente expresada como:
[matemáticas] E_c = \ frac {1} {2} Cu ^ 2 [/ matemáticas]
Si sabe cómo derivarlo, se dará cuenta de que es conservador. Es decir, solo depende del estado de u en la ecuación. Si te preguntas de todos modos:
En física, expresamos la energía del cálculo del trabajo. El voltaje es otra forma de expresar la energía potencial del circuito eléctrico. El trabajo realizado por el circuito se calcula por el trabajo realizado por el voltaje (energía potencial) para mover la carga. Matemáticamente, se expresa por:
[matemáticas] E_c = W = \ int {V} {dq} [/ matemáticas]
Big V aquí representa la energía potencial del circuito o voltaje. Bueno, en este condensador, el voltaje es obviamente u:
[matemáticas] E_c = \ int {u} {dq} [/ matemáticas]
Podemos expresar:
[matemáticas] E_c = \ int {u} {dq} = \ int {\ frac {q} {C} {dq}} [/ matemáticas]
[matemáticas] E_c = \ frac {1} {2} \ frac {q ^ 2} {C} = \ frac {1} {2} Cu ^ 2 [/ matemáticas]
De la expresión, vemos que es conservador y solo depende de usted.
Energía disipada por la resistencia
Ahora, para derivar la expresión de energía disipada por la resistencia, no es tan obvio y un poco difícil. Probablemente quiera usar [math] E_r = I ^ 2Rt [/ math] pero no podemos hacer eso, ya que no soy constante en este circuito. Tenemos que derivarlo nosotros mismos y ver el resultado. En realidad, esto es bastante difícil ya que estamos atascados porque depende del tiempo. Pero, encontré una manera de derivarlo sin tener que saber qué función realmente soy. Así que, aquí vamos. Es un poco complicado.
Expresamos:
[matemáticas] E_r = W = \ int {V} {dq} = \ int {IR} {dq} = \ int {I ^ 2R} {dt} [/ matemáticas]
Ok, como dije, estamos atrapados. Podemos integrarlo fácilmente si soy constante. Pero no en nuestro caso. Sin embargo, encontré una solución alternativa.
¿Recuerdas nuestra Ley de voltaje de Kirchoff que derivamos antes? En el método anterior, tomamos la primera derivada del tiempo wrt y sustituimos nuestra segunda Ley de Newton buena, y obtenemos esto:
[matemáticas] \ dot {I} = – \ alpha I [/ matemáticas]
Todavía recuerdas a nuestro amigo [matemáticas] \ alpha [/ matemáticas], ¿verdad? :pag
De todos modos, previamente, tratamos de resolver esta ecuación diferencial. Ahora no queremos hacer eso. ¿Te das cuenta de que tengo I en la ecuación? Ahora esta es la parte no tan obvia:
[matemáticas] E_r = \ int {I ^ 2R} {dt} [/ matemáticas]
Usando la regla de la cadena, obtenemos:
[matemáticas] E_r = \ int {I ^ 2R} {dt} = \ int {I ^ 2R} {\ frac {dt} {dI} {dI}} [/ matemáticas]
[matemáticas] E_r = \ int {\ frac {I ^ 2R} {\ dot I} {dI}} [/ matemáticas]
Ahora, sustituya nuestro [math] \ dot I [/ math]
[matemáticas] E_r = \ int {- \ frac {IR} {\ alpha} {dI}} [/ matemáticas]
¿Ves el signo negativo? Es importante. Te lo explicare mas tarde
Ahora integrelo, obtenemos:
[matemáticas] E_r = – \ frac {1} {2} \ frac {I ^ 2R} {\ alpha} [/ matemáticas]
Usaremos esta definición. Por lo que parece, también es conservador y solo depende de I. El signo negativo puede interpretarse como la energía que pierde la resistencia. Bueno, eso tiene sentido. Como la resistencia crea una caída de voltaje y la energía se disipa.
Derivando el principio de conservación de energía del circuito
Okay. Ahora, tenemos las tres definiciones de energía que necesitábamos. Básicamente, ahora queremos usar esto en el principio de conservación de energía. Volvamos a la ecuación de Kirchoff:
[matemáticas] e-IR-u = 0 [/ matemáticas]
Esto expresa la conservación del voltaje en el sistema. Podemos trabajar a partir de esto para crear nuestro principio de conservación de energía. Cada uno de los términos es un voltaje. Si cada voltaje es responsable de las cargas en movimiento, entonces podemos decir que cada voltaje se conserva como la energía se conserva.
Ok, estas confundido? Dicho matemáticamente, la integración de esta ecuación wrt [matemáticas] dq [/ matemáticas] para crear una expresión de trabajo / energía creará una constante. ¿Incluso estás confundido? Bueno, básicamente lo que estoy tratando de decir es esto:
[matemáticas] \ Delta {E_e} – \ Delta {E_r} – \ Delta {E_c} = 0 [/ matemáticas]
Se lee como: La diferencia de energía total en el circuito se conserva. O equivalentemente es lo mismo que:
[matemáticas] \ Delta {E_e} = \ Delta {E_r} + \ Delta {E_c} [/ matemáticas]
Ahora, puede leer fácilmente: la diferencia de energía de la fuerza electromotriz se transfiere como disipación de energía por la resistencia y se almacena en el condensador. Ahora tiene más sentido, con suerte.
¡Calculemos todo esto!
Como dije antes, la diferencia de energía de la fuerza electromotriz proviene de la pérdida de energía cinética de la barra. Podemos escribir esto:
[matemáticas] \ Delta {E_e} = – \ Delta {E_k} = \ frac {1} {2} m (v_o ^ 2-v_f ^ 2) [/ matemáticas]
No entres en pánico. El signo negativo está ahí porque la energía electromotriz que llega al circuito (en aumento) proviene de la pérdida (por lo tanto, el signo negativo) de la energía cinética de la barra.
Ahora calculamos la energía disipada por la resistencia. Recuerde, en [matemática] t = 0 [/ matemática] el capacitor está vacío, no contiene carga ([matemática] q_0 = 0 [/ matemática]), entonces el capacitor no tiene ninguna diferencia de voltaje. Esto significa que el voltaje causado por la fuerza electromotriz se cae todo por la resistencia. O, en otras palabras, intente calcular [matemáticas] I_0 [/ matemáticas]
En realidad, ya lo calculamos:
[matemáticas] I_0 = \ frac {BLv_0} {R} [/ matemáticas]
Luego, considere cuando la varilla alcanza la velocidad final, el condensador está lleno, por lo que no más corriente funcionando. Esto provocó que la varilla dejara de desacelerar.
[matemáticas] I_f = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ Delta {E_r} = – \ frac {1} {2} \ frac {R} {\ alpha} (I_f ^ 2-I_0 ^ 2) [/ matemáticas]
De nuevo, cuidado con el letrero.
[matemáticas] \ Delta {E_r} = \ frac {1} {2} \ frac {RI_0 ^ 2} {\ alpha} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ Delta {E_r} = \ frac {1} {2} \ frac {B ^ 2L ^ 2v_0 ^ 2} {\ alpha R} [/ matemáticas]
Luego, la última parte la energía del condensador.
Recuerde que en [matemáticas] t = 0 [/ matemáticas] el condensador no contiene ninguna carga, por lo que la energía es 0. Al final, el condensador contiene carga completa, luego la parada de corriente. Lo que significa:
[matemáticas] e = u = BLv_f [/ matemáticas]
[matemáticas] \ Delta {E_c} = \ frac {1} {2} C (u_f ^ 2-u_0 ^ 2) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ Delta {E_c} = \ frac {1} {2} CB ^ 2L ^ 2v_f ^ 2 [/ matemáticas]
Finalmente, sustituya todo eso para obtener:
[matemáticas] \ Delta {E_e} = \ Delta {E_r} + \ Delta {E_c} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {1} {2} m (v_o ^ 2-v_f ^ 2) = \ frac {1} {2} \ frac {B ^ 2L ^ 2v_0 ^ 2} {\ alpha R} + \ frac { 1} {2} CB ^ 2L ^ 2v_f ^ 2 [/ matemáticas]
Ehm, creo que puedes sustituir [math] \ alpha [/ math] tú mismo. Estoy demasiado cansado para escribir todo eso.
Llegarás finalmente a:
[matemática] v_f ^ 2 = \ frac {m ^ 2} {(B ^ 2L ^ 2C + m) ^ 2} v_0 ^ 2 [/ matemática]
enraizamiento cuadrado en ambos lados, y solo tomamos el valor positivo, finalmente obtenemos:
[matemáticas] v_f = \ frac {m} {B ^ 2L ^ 2C + m} v_0 [/ matemáticas]
Cuál es el mismo valor que obtenemos de la conservación de energía mecánica, pero este caso es más problemático.
Entonces, sí, todo esto debería ser consistente.
Esa es la belleza de la física.
Si todavía estás confundido, no dudes en preguntar en el comentario.
En realidad, espero no haber perdido el tiempo escribiendo todo esto. Esperemos que alguien se beneficie de esto. Gracias.