En un problema de inducción electromagnética, obtuve resultados diferentes al usar métodos diferentes. ¿Qué solución es la correcta? ¿Por qué está mal el otro?

Cuando la varilla comienza a moverse hacia la derecha con velocidad v0 en el campo magnético, la fem de magnitud Blvo inducida en ella. Esta fem fuerza la corriente en sentido horario desde la ley de Lenz y el condensador comienza a cargarse con fem opuesta a la de la barra. Inicialmente, la magnitud de la corriente es muy grande porque la resistencia de bucle R es cero. Esta corriente impulsiva carga instantáneamente al condensador con fem igual y opuesta a la de la barra y, por lo tanto, la fem neta del circuito se convierte en cero. La corriente en el circuito se convierte en cero y, por lo tanto, ninguna fuerza (ilB) actúa sobre la varilla. La varilla sigue moviéndose con velocidad vo. Todo esto ocurre instantáneamente porque la constante de tiempo del circuito (RC) es cero. La conservación de energía sigue siendo válida porque el trabajo realizado por emf (Blvo) al cargar el condensador se almacena en el condensador como energía electrostática.

EDITAR:

Quería dar un argumento físico en la respuesta anterior de la prueba matemática dada por Udbhav. Sin embargo, hay un error en el argumento anterior. El error es que si la corriente impulsiva carga el capacitor en t = 0+, entonces esta corriente causa fuerza impulsiva en la varilla y la velocidad debe reducirse de v0 a v. Pero a = 0, entonces falta algo. Entonces estoy dando otro argumento físico que es el siguiente:

“Si ninguna fuerza externa F actúa sobre la barra en el circuito anterior, entonces no hay corriente en el circuito, no hay fuerza magnética en la barra, no hay aceleración en la barra, no hay cambio en la velocidad. Debe haber una fuerza externa F para conducir corriente en circuito “.

Debido a que no hay corriente ni aceleración, creo que no tiene sentido utilizar la conservación de energía, el cambio de momento y la ecuación diferencial para obtener una solución para v.

La prueba del argumento anterior es así:

Sea v la velocidad de la barra en el tiempo t. F es la fuerza externa que actúa sobre la barra, l es la longitud de la barra.

Entonces E = Bvl, q = CBvl, i = CBla, fuerza magnética = ilB = CB ^ 2 * l ^ 2 * a, Usando la segunda ley de Newton:

F – CB ^ 2l ^ 2 a = ma

a = F / (m + CB ^ 2l ^ 2)

Tanto la corriente i como la aceleración son proporcionales a F. Si F es cero, entonces no hay corriente ni aceleración. La descripción física de las matemáticas anteriores es la siguiente:

Cuando la barra de velocidad v0 se mueve en campo magnético en t = 0 con F = 0, entonces la fem en el tiempo t = 0 + es Blv0 y la corriente debe ser 0. Dado que la corriente i = 0, entonces el condensador debe tener carga de carga inicial Blv0. Dado que no se da ningún cargo inicial en cuestión, la descripción correcta de la pregunta debería ser así:

Pregunta 1 : “La fuerza externa F se aplica sobre la barra y se acelera. En t = 0 su velocidad es v0 y la fuerza F se elimina. ¿Encontrar v?”

Respuesta : La varilla acelera la forma t = -infinito hasta t = 0-. Cuando se elimina la fuerza F en t = 0 con velocidad v0, i = 0 y a = 0 en t = 0, C ya tiene voltaje Bvol en t = 0 de la ecuación anterior. Rod sigue moviéndose con v0. La energía se conserva.

Ahora la pregunta 2 se hace de la siguiente manera, lo que equivale a la pregunta original.

Pregunta 2 : “La fuerza externa F se aplica sobre la varilla y se acelera. Se proporciona una ruta de cortocircuito para el capacitor con interruptor. En t = 0-, el interruptor se cierra y se abre en t = 0. Si la velocidad de la varilla es v0 y la fuerza F es eliminado en t = 0. ¿Encontrar v? ”

Respuesta: Dado que el interruptor está cerrado en t = 0- y abierto en t = 0, la carga inicial en el condensador es cero. El voltaje inicial en la varilla es cero. La velocidad dada de la barra es v0 en t = 0. Entonces, una cosa es segura de que i = 0 de la ecuación anterior. Si i = 0, entonces emf Blv0 no se puede inducir en t = 0 + de lo contrario se cargará el condensador y fluye, lo cual es una contradicción. Entonces la barra se detiene repentinamente en t = 0 + y ejerce una gran fuerza sobre la persona que coloca la barra en el riel para transferir toda su energía a la persona. Creo que dicho circuito puede ser peligroso desde el punto de vista de la seguridad.

Si la fuerza externa F actúa sobre la barra y la fricción, la resistencia es insignificante, la conservación de energía es así:

“Trabajo realizado por fuerza externa F = Energía almacenada en el condensador + cambio en KE de la barra”.

Si no actúa ninguna fuerza externa, cambie la energía almacenada del condensador = 0, cambie la energía cinética = 0, la fuerza magnética = 0 como i = 0.

La respuesta 2 es correcta. ¡Buen trabajo! La respuesta 1 es incorrecta porque [math] \ Delta t [/ math] es infinita; la barra nunca alcanza su velocidad terminal. Se está acercando a través de una función exponencial. Para ese período de tiempo infinito, la corriente promedio es cero y el producto de I y [math] \ Delta t [/ math] es indefinido.

ACTUALIZACIÓN PRINCIPAL

Cuando escribí la respuesta anterior, no imaginé que estaba entrando en un campo minado. Mi intención era resaltar la insuficiencia matemática de la primera respuesta original. En esta actualización, voy a mostrar que AMBAS respuestas son incorrectas, por lo tanto, mi respuesta fue incorrecta, ¡pero incluso el problema original se indica incorrectamente! ¿Cómo puede ser esto? Te lo explicaré en breve. Además, si la segunda respuesta conserva energía y todas las leyes de la física se aplican correctamente, ¿cómo podría ser incorrecta esta respuesta? Aférrate. También estoy sorprendido por los resultados que se muestran a continuación, pero ilustra la belleza de la física y tal vez sugiere un experimento interesante con resultados contraintuitivos.

El primer enfoque y qué tiene de malo

Derivemos rápidamente la “respuesta número 1” original que fue elaborada con elegancia por Neal y Rizky. Asumiré resistencia cero. En [math] t = 0 [/ math] una fuente de fem está conectada directamente a un condensador con carga cero. El capacitor [matemático] C [/ matemático] debe cargarse instantáneamente al voltaje [matemático] U [/ matemático] igualando la fem final utilizando corriente instantánea infinita. Es la etapa pero este es un experimento ideal.

El condensador final, que también es igual al voltaje de la barra final es:

[matemáticas] U = BLv_f [/ matemáticas]

La corriente para la carga instantánea es:

[matemáticas] i (t) = CU \ delta (t) = CBLv_f \ delta (t) [/ matemáticas]

en donde [math] \ delta (t) [/ math] es el impulso de Dirac. Disculpa por usar este monstruo pero acelera la derivación.

La fuerza sobre la barra:

[matemáticas] F (t) = BLi (t) = CB ^ 2 L ^ 2 v_f \ delta (t) [/ matemáticas]

El cambio de impulso:

[matemática] \ int _ {- T} ^ {T} F (t) dt = mv_0-mv_f [/ matemática] en donde [matemática] T [/ matemática] es cualquier valor de tiempo positivo finito.

[matemática] \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} F (t) dt = CB ^ 2 L ^ 2 v_f [/ math] así:

[matemática] CB ^ 2 L ^ 2 v_f = mv_0 – m v_f [/ matemática]

por lo tanto:

[matemáticas] v_f = v_0 \ cfrac {m} {CB ^ 2L ^ 2 + m} [/ matemáticas]

¡Hecho! Todo parece estar bien, ¿dónde está el problema? Bueno, ignoré el cambio de flujo en el circuito cuando la corriente fluye. El cambio en el flujo actuaría contra la fem y no permitirá una corriente repentina. Esa aproximación podría ser buena para un núcleo de transformador pero no para un circuito al aire libre. La ecuación anterior implica involuntariamente que el campo externo B se ajusta para compensar el flujo cambiante, manteniendo así la fem sin importar qué. Esto explica por qué esta respuesta no conserva energía; el campo externo tiene un componente que varía en el tiempo [matemática] – \ cfrac {\ parcial B} {\ parcial t} [/ matemática] que es igual al rotor del campo eléctrico [matemática] E [/ matemática] por lo tanto el campo externo se ha vuelto no conservador, por lo que puede aumentar o disminuir la energía total del sistema. Exploremos la respuesta cuando se preserva la energía, es decir, cuando el campo externo B es constante en todas partes e incluimos el efecto de flujo en la fem causado por la corriente.

Derivación de conservación de energía

El circuito que consiste en una barra de metal, rieles guía y un condensador en un campo magnético B es esencialmente un inductor de una sola vuelta.

El flujo agregado por la corriente es proporcional a la corriente:

[matemática] \ Phi (t) = L_I i (t) [/ matemática] donde [matemática] L_I [/ matemática] es una proporción constante, esencialmente la inductancia del bucle.

El cambio de fem por el actual es:

[matemática] v_L = – \ cfrac {d \ Phi} {dt} = -L_I \ cfrac {di} {dt} – \ cfrac {dL_I} {dt} i (t) [/ math] (Ec. 1)

Estoy ignorando el segundo término, que es pequeño cuando los rieles entre la barra y el condensador es >> L, por lo tanto, esta respuesta es una buena aproximación si en t = 0 la barra ha aterrizado en el riel lejos del condensador. Abordaré la inductancia cambiante más adelante.

El flujo en el bucle causado por la corriente siempre se opone a la fem del campo externo [matemática] B [/ matemática], por lo tanto, la ecuación de voltaje para el tiempo t> 0 es:

[matemáticas] \ cfrac {1} {C} \ int _ {- \ infty} ^ {t} i dt = BL v (t) – L_I \ cfrac {di} {dt} [/ math]

La relación fuerza-momento (ver la explicación de Rizky):

[matemáticas] BLi (t) = -m \ cfrac {dv} {dt} [/ matemáticas] (Ec. 2)

Sustituyendo la ecuación. 2 en la ecuación. 1 y tomando un tiempo derivado de ambos lados:

[matemáticas] L_I \ cfrac {d ^ 2i} {dt ^ 2} + \ cfrac {B ^ 2L ^ 2} {m} i + \ cfrac {i} {C} = 0 [/ matemáticas]

Esta ecuación se reorganiza y se escribe como:

[matemáticas] \ cfrac {d ^ 2i} {dt ^ 2} + \ omega ^ 2i = 0 [/ matemáticas] (ecuación 3)

dónde:

[matemáticas] \ omega ^ 2 = \ cfrac {1} {L_I} (\ cfrac {1} {C} + \ cfrac {B ^ 2L ^ 2} {m}) [/ matemáticas] (Ec. 4)

Esta ecuación tiene una solución de la forma:

[matemáticas] i (t) = C_1 e ^ {j \ omega t} + C_2 e ^ {- j \ omega t} [/ matemáticas] (Ec. 5)

en donde [math] j = \ sqrt {-1} [/ math].

De la ec. 1 [matemática] i = 0 [/ matemática] cuando [matemática] t = 0 [/ matemática] ya que la corriente en una bobina no puede saltar instantáneamente. Así en la ec. 5 en [matemáticas] t = 0 [/ matemáticas],

[matemáticas] 0 = C_1 + C_2 [/ matemáticas]

También de la ecuación. 1 y sabiendo que en [matemáticas] t = 0 [/ matemáticas] [matemáticas] v (t) = v_0 [/ matemáticas] obtenemos:

[matemáticas] 0 = BLv_0-L_I \ cfrac {di} {dt} | _ {t = 0} [/ matemáticas]

Insertar esta condición de límite en la ecuación. 5:

[matemáticas] \ cfrac {BLv_0} {L_I} = j \ omega C_1-j \ omega C_2 [/ matemáticas]

Así:

[matemáticas] C_1 = \ cfrac {BLv_0} {2j \ omega L_I} [/ matemáticas]

Y ahora:

[matemáticas] i (t) = \ cfrac {BLv_0} {\ omega L_I} \ cfrac {e ^ {j \ omega t} -e ^ – {j \ omega t}} {2j} [/ math]

¡Estamos casi alli! La ecuación anterior se puede reescribir como:

[matemáticas] i (t) = \ cfrac {BLv_0} {\ omega L_I} \ sin (\ omega t) [/ matemáticas] (ecuación 6)

Tenemos la corriente pero necesitamos la velocidad. Reordenando la ecuación. 2:

[matemáticas] \ cfrac {dv (t)} {dt} = – \ cfrac {BL} {m} i (t) [/ matemáticas]

Integrando ambos lados:

[matemáticas] v (t) = C_3 – \ cfrac {BL} {m} \ int {i (t) dt} [/ matemáticas] Eq. 7 7

Sustituyendo la ecuación. 6 en lo anterior e integrando:

[matemáticas] v (t) = C_3 + \ cfrac {B ^ 2L ^ 2v_0} {m \ omega ^ 2L_I} \ cos {\ omega t} [/ matemáticas]

y en [matemáticas] t = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] v_0 = C_3 + \ cfrac {B ^ 2L ^ 2v_0} {m \ omega ^ 2L_I} [/ matemáticas]

Vamos a limpiar un poco. Sustituyendo eq. 4 podemos reescribir:

[matemáticas] \ cfrac {B ^ 2L ^ 2v_0} {m \ omega ^ 2L_I} = \ cfrac {B ^ 2L ^ 2v_0} {m \ cfrac {1} {L_I} (\ cfrac {1} {C} + \ cfrac {B ^ 2L ^ 2} {m}) L_I} = \ cfrac {CB ^ 2L ^ 2v_0} {m + CB ^ 2L ^ 2} [/ math]

¡Genial, nos deshicimos de [math] L_I [/ math] y [math] \ omega [/ math] que son parámetros específicos de la situación!

[matemáticas] C_3 = v_0 – \ cfrac {CB ^ 2L ^ 2v_0} {m + CB ^ 2L ^ 2} [/ matemáticas]

Insertar esto en la ecuación. 7 obtenemos:

[matemáticas] v (t) = v_0 – \ cfrac {CB ^ 2L ^ 2v_0} {m + CB ^ 2L ^ 2} [/ matemáticas] y de la ecuación. 7 obtenemos nuestra ecuación “poner en un marco”:

[matemáticas] v (t) = v_0 + \ cfrac {CB ^ 2L ^ 2v_0} {m + CB ^ 2L ^ 2} (\ cos {\ omega t} -1) [/ matemáticas] (Ec. 8)

Ahora podemos esbozar la velocidad:

¡No hay equilibrio! El condensador se carga pero finalmente devuelve la energía a la barra, haciendo que la barra cambie periódicamente entre ser un generador y un motor. La frecuencia depende de [matemática] L_I [/ matemática] pero las amplitudes dependen solo de los parámetros dados en el problema.

¿Cuál es la velocidad promedio [matemática] \ overline {v} [/ matemática]? Se encuentra cuando [math] \ omega t = \ cfrac {\ pi} {2} [/ math] en la ec. 8:

[matemáticas] \ overline {v} = v_0 (1- \ cfrac {B ^ 2L ^ 2} {\ cfrac {m} {C} + B ^ 2L ^ 2}) [/ matemáticas]

después de organizar los términos obtenemos:

[matemáticas] \ overline {v} = \ cfrac {m} {m + CB ^ 2L ^ 2} v_0 [/ matemáticas] (Ec. 9)

¡Guauu! ¡Ese es el mismo valor que la velocidad terminal que todos estaban obteniendo! Pero no hay velocidad terminal ya que este sistema (ideal) está oscilando.

Volviendo al enfoque de la energía, la respuesta original número 2. Esta también está equivocada porque ha igualado las energías suponiendo que hay una velocidad terminal, por lo que da una respuesta significativa a pesar de estar equivocada. Todavía podemos encontrar el punto de no equilibrio en el que no hay energía en la bobina [matemáticas] (i = 0) [/ matemáticas]. esta energía se divide solo entre el condensador y la barra. Mirando la ecuación. 6, los casos de tiempo en que la energía en la bobina es cero, excluyendo aquellos en los que la velocidad es igual a [matemática] v_0 [/ matemática] son:

[matemática] \ omega t = \ pi, 3 \ pi, 5 \ pi [/ matemática] … donde la velocidad es igual a [matemática] v_ {MIN} [/ matemática]

Desde [math] v_ {MIN} = v_0 – 2 (v_0- \ overline {v}) [/ math]

Usando la ecuación 9 y reorganizando los términos que obtenemos:

[matemática] V_ {MIN} = \ cfrac {m-CB ^ 2L ^ 2} {m + CB ^ 2L ^ 2} [/ matemática] (ecuación 10)

Esta es nuestra respuesta más equivalente a la del enfoque energético y es muy diferente de la “respuesta 2”. Hay otra rareza en la ecuación. 10. Puede ser negativo, por lo tanto, la barra podría moverse temporalmente hacia atrás. Aquí hay un bosquejo de tal situación:

Si pudiéramos construir dicho experimento (campo magnético fuerte, rieles superconductores, condensador Q alto, B fuerte, etc.), sería increíble observar el movimiento errático de la barra hacia adelante con retrocesos periódicos con una tendencia neta hacia adelante.

¿Qué pasa con la inductancia variable?

Teniendo en cuenta la inductancia variable para el caso del riel largo discutido anteriormente, puede verse como la solución esbozada en las figuras anteriores, pero con la frecuencia angular [math] \ omega [/ math] disminuyendo gradualmente. Una especie de cambio de rojo. Dado que las amplitudes de la velocidad no dependen de la inductancia, tampoco lo hacen las velocidades especiales [matemáticas] v_MIN [/ matemáticas] o [matemáticas] \ overline {v} [/ matemáticas].

¿Qué pasa con el término [matemáticas] \ cfrac {dL_I} {dt} i (t) [/ matemáticas], que es significativo cuando los rieles son cortos? Como [math] L_I [/ math] depende de la posición, el término [math] \ cfrac {dL_I} {dt} [/ math] depende de la velocidad y [math] \ cfrac {dL_I} {dt} i (t) [/ math] es un término no lineal. ¿Alguien quiere abordarlo?

Conclusiones

La pregunta original, declarando “ignorar la resistencia” y asumiendo componentes ideales, está conduciendo a una solución con la forma de un oscilador armónico que nunca alcanza el equilibrio. Debe haber una resistencia para amortiguar las oscilaciones. Por lo tanto, la pregunta se plantea erróneamente ya que no existe una “velocidad final” y las dos respuestas en conflicto son incorrectas.

Si se tratara de una pregunta de examen, daría un crédito completo a las respuestas 1 o 2, pero, francamente, si me pidieran que incluyera el flujo inducido por la corriente como mostré anteriormente durante un examen de tiempo limitado, probablemente reprobaría 🙂

EN EL PRÓXIMO DÍA O DOS, PUBLICARÉ MI NUEVA RESPUESTA, QUE TENDRÁ EN CUENTA LA ENERGÍA Y EL MOMENTO DEL CAMPO. ¡TODOS LOS MISTERIOS SERÁN CLARIFICADOS!

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ABAJO ES MI ANTIGUA RESPUESTA: No está mal, pero está incompleto.

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En realidad, la primera respuesta es correcta, aunque las aproximaciones hechas son bastante aproximadas. La razón por la que funciona es que el argumento gira en torno a la conservación del impulso, mientras que el segundo argumento se basa en la conservación de la energía. Sin embargo, debido a que se puede producir calor, la energía cinética se pierde incluso en colisiones inelásticas entre partículas, sin importar los circuitos eléctricos. La respuesta dada por CoE es demasiado alta. Por otro lado, es mucho más difícil ocultar el impulso. Entonces, el concepto del primer argumento es más confiable, a pesar de que las aproximaciones son muy aproximadas.

La forma correcta de hacer esto es configurar las ecuaciones diferenciales para el circuito eléctrico y el movimiento de la barra, y encontrar el comportamiento dependiente del tiempo. El problema con el circuito es que NO HAY RESISTENCIA, lo que hace que el circuito se comporte mal para empezar. Introduciré dos elementos que son más realistas:

a) Resistencia a la corriente que cruza la barra móvil: R (ohmios)

b) Resistencia para las pistas de metal: r (ohmios / metro), o cuando la barra se ha movido a una distancia X del condensador, la resistencia total debida a las pistas es

2 * X * r = 2rX

porque hay resistencia en ambas pistas.

Pensando en la fuerza de Lorentz como una batería, la fuerza de esta batería es

EMF = V (t) * B * L

donde L = longitud de la barra, B = fuerza del campo magnético y V (t) es la velocidad de la barra; tenga en cuenta que V (t) = dX (t) / dt.

La capacitancia es C, la carga en el capacitor es Q (t).

Si la corriente se define positiva en sentido antihorario:

I (t) = dQ (t) / dt

Ecuación de circuito :

Después de mirar el diagrama de circuito el tiempo suficiente, llegas a la conclusión de que:

V (t) * B * L = EMF = Q (t) / C + I (t) * R + I (t) * (2rX (t)

Desafortunadamente, el término 2rX (t) es problemático; Así que eliminaré ese poco de realismo y mantendré la resistencia de la barra:

V (t) * BL = Q (t) / C + I (t) * R

Como sabemos que V (t) se ralentizará (¿Qué más puede hacer?), Y que Q (t) comienza desde 0 en t = 0, supongo que la solución se ve así:

Q (t) = a – a * exp (-z * t); esto tiene Q (0) = 0, Q (infinito) = a

I (t) = dQ / dt = – (-1) * z * a * exp (-zt) = + z * a * exp (-zt)

V (t) = b + c * exp (-zt); aquí V (0) = b + c, V (infinito) = b

Así que espero que todas estas constantes (a, b, c, z) sean> 0.

En otras palabras: supongo que el estado de movimiento eventualmente será un estado estable (porque el capacitor acumulará suficiente carga para que el circuito deje de funcionar y no haya más disipación). Pero espero que exista un comportamiento exponencial.

Conectando estas tres conjeturas en la ecuación del circuito:

V (t) * BL = (b + c * exp (-zt)) * BL = bBL + cBL * exp (-zt)

Q (t) / C = (a – a * exp (-z * t)) / C = (a / C) – (a / C) * exp (-zt)

I (t) * R = z * a * exp (-zt) * R = Raz * exp (-zt)

encontramos:

bBL + cBL * exp (-zt) = (a / C) – (a / C) * exp (-zt) + Raz * exp (-zt)

o:

[bBL – a / C] + exp (-zt) * [cBL + (a / C) – Raz] = 0

Obviamente, para que esta suposición sea correcta:

a = bBLC

cBL = (Raz – a / C)

= (Rz – 1 / C) * a

= (Rz – 1 / C) * bBLC

= bBLzRC – bBL

= (zRC – 1) bBL

o:

c = b * (zRC – 1)

Conectando estas conclusiones nuevamente a la suposición original:

Q (t) = a – a * exp (-z * t)

= b * BLC * (1 – exp (-zt))

I (t) = dQ / dt = zbBLC * exp (-zt)

V (t) = b + c * exp (-zt)

= b * (1 + (zRC – 1) * exp (-zt))

¡Encontramos que la ecuación del circuito está realmente satisfecha!

V (t) * BL = Q (t) / C + I (t) * R

Pero todavía no sabemos qué es z. Para eso, volvemos a la física:

m * dV / dt = F = – B * I * L

o

-z * m * b * (zRC – 1) * exp (-zt) = – B * L * zbBLC * exp (-zt)

m (zRC-1) = (BL) ^ 2 * C

z = (1 + (C / m) * (BL) ^ 2) / (RC)

y V (infinito) = b, V (0) = bzRC, entonces:

V (infinito) = V (0) / (zRC)

= V (0) / (1 + (C / m) * (BL) ^ 2)

= V (0) m / (m + C * (BL) ^ 2)

Puntos interesantes a tener en cuenta:

a) Asumimos un valor finito de la resistencia de la barra, R. Sin embargo, la velocidad final de la barra es independiente del valor de R; lo que sí cambia es la escala de tiempo para alcanzar la velocidad final: esto es proporcional a R, ya que la tasa exponencial de asentamiento es ~ 1 / RC.

b) ¿Por qué es eso? Para que la barra alcance la velocidad final, el condensador debe acumular carga Q = C * BLV. Esto requiere energía Q ^ 2 / (2C) = (BLVC) ^ 2 / (2C)

o pérdida de energía cinética> (C / 2) * (BLV) ^ 2

Esto significa:

mV0 ^ 2/2 – mV ^ 2/2> (C / 2) * (BLV) ^ 2

V0 ^ 2> V ^ 2 (1 + (C / m) * (BL) ^ 2)

V0 / sqrt (1 + (C / m) * (BL) ^ 2) = V0 * sqrt (m / (m + C * (BL) ^ 2))> V

Este es un límite superior en la V final: cualquier pérdida resistiva generará un límite más estricto; pero la V final será menor que Vo incluso sin pérdida resistiva . Pero en realidad tenemos la respuesta más correcta (teniendo en cuenta la resistencia en la barra) de V0 * (m / (m + C * (BL) ^ 2)) .

c) ¿Qué sucede si volvemos a agregar la resistencia de las pistas?

  • Se ralentizará el tiempo hasta el estado estable, porque la resistencia del circuito sigue aumentando.
  • En realidad, no estoy 100% seguro de que haya un estado estable que no sea que la barra se detenga. Con la adición de la resistencia de la barandilla, la barra de desplazamiento tiene que crear más campo E a medida que avanza, de modo que consume energía. Esto es lo que sospecho que sucede.

CONCLUSIONES

  • A pesar de la crudeza de las aproximaciones, la primera respuesta es realmente correcta, dentro de los límites de resistencia cero.
  • El segundo método se basa en la conservación de la energía, y no se puede confiar en él, excepto como un límite superior. Al usar esto, puede concluir fácilmente que no es posible un escenario sin cambios, porque ALGUNA energía debe extraerse de la energía cinética de la barra para cargar el condensador y detener la corriente. Sin embargo, el cálculo real usando resistencia finita en la barra da la velocidad aún más baja que viene del primer cálculo.
  • Sería interesante tener más en cuenta la resistencia finita en las barandillas. Probablemente sea necesario atacarlo numéricamente, ya que no creo que el problema sea lineal. Parece probable que la barra se detenga.

Ya estaba escribiendo mi borrador, luego tuve que ir al baño (ehm, lo siento). Cuando vuelvo, la respuesta de Neal King aquí prácticamente da como resultado la misma conclusión que la mía, así que pensé que no tenía que publicar mi respuesta. Pero hoy pensé que tenía que terminar lo que comencé: p. Así que, aquí vamos.

La primera vez que vi sus preguntas, noté dos suposiciones problemáticas:

  1. La q inicial en el condensador es 0
  2. El circuito cerrado no tiene resistencia.

Cada suposición es una contra la otra. Por ejemplo, para que q inicial sea igual a 0. El circuito cerrado debe tener resistencia, por lo que el voltaje de la fuerza electromotriz se cae por la resistencia (debido a la Ley de Kirchoff). Si el circuito no tiene resistencia, la q inicial no debe ser 0, el capacitor tendrá una diferencia de voltaje al instante (nuevamente debido a la Ley de Kirchoff), por lo que tendrá una q inicial distinta de cero en el capacitor.

Si aceptamos 2das suposiciones

Ahora, digamos que el circuito realmente no tiene resistencia, entonces no podemos decir que q inicial es 0. El capacitor almacenará la carga igual a [matemática] q = uC [/ matemática] (Sea la diferencia de voltaje del capacitor). Sin embargo, como u será igual a la fuerza electromotriz de la varilla, la diferencia de voltaje total del circuito es cero, entonces no hay corriente en funcionamiento. Este circuito cerrado se comportará como un circuito abierto porque el capacitor está lleno. Como no hay corriente en la barra, la barra no tendrá ninguna fuerza. Por lo tanto, sin aceleración, sin cambio de velocidad. Concluido por, la velocidad final será la misma que la velocidad inicial.

Esta respuesta parece no ser la solicitada por la pregunta, así que intentemos con otro enfoque.

Si aceptamos los primeros supuestos

La consecuencia de esto es que el circuito cerrado tendrá que contener una resistencia. ¿Pero dónde está esta resistencia? Al igual que el enfoque de Neal, consideré que la bobina también tiene resistencia por su longitud. Pero, usando estos supuestos, llegué a ecuaciones diferenciales con dos variables diferenciables, lo cual es problemático de resolver (lo descarto en el primer intento). Entonces, consideremos que la resistencia está dentro de la barra, por lo que el circuito tendrá una resistencia constante todo el tiempo (independiente de t).

La imagen de Neal ya es buena como está. No haré un dibujo similar.

Según la Ley de Kirchoff, tendrá un conjunto de ecuaciones como esta:

Dejar:

e: fuerza electromotriz causada por la varilla

R: resistencia de la barra

I: la corriente que se ejecuta en el circuito (también la misma en el condensador)

u: la diferencia de voltaje del condensador

[matemáticas] e-IR-u = 0 [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que pongo signo negativo en IR yu porque ambos son caída de voltaje (convención de Kirchoff).

Ya deduces cuánto es e. Es correcto. Vamos a usar eso.

[matemáticas] e = BLv [/ matemáticas]

Cualquiera que sea la dirección e, no tenemos que molestarnos, ya que la dirección de la corriente se alineará en consecuencia. Si lo relaciona con las ecuaciones de Maxwell, el flujo magnético que perfora la superficie del circuito está aumentando, por lo que habrá una fuerza equivalente para intentar disminuir la velocidad. Esto es para que se conserve la energía total.

La diferencia de voltaje del condensador será proporcional a la carga que almacenó. Como q inicial es 0, luego u inicial es 0, el condensador se comporta como si no estuviera allí en t = 0. En otras palabras, la corriente que se ejecuta en el circuito es máxima. No necesitamos saberlo, pero solo recuérdalo.

Ahora, ¿qué vamos a hacer con esto? Tenemos I y V, no te conocemos. Tenemos que encontrar una relación entre usted y yo. Suponiendo que este problema sea de física de nivel universitario. Entonces probablemente ya conozcas cálculo de nivel básico. Estamos tratando de encontrar la ecuación diferencial de este problema y resolverlo.

Inspeccione la relación del condensador:

[matemáticas] C = \ frac {q} {u} [/ matemáticas]

[matemáticas] uC = q [/ matemáticas]

Con el tiempo, el condensador se llenará con una carga creciente (porque hay corriente en funcionamiento). La diferencia de voltaje de u aumentará. Debido a esto, la corriente en el circuito tendrá que disminuir para obedecer la Ley de Kirchoff. Por lo tanto, existe una relación entre la corriente en el circuito y la carga que almacena el condensador. Con el tiempo, la corriente disminuirá mientras aumenta la carga. De hecho, si tomamos el tiempo wrt derivado:

[matemáticas] \ dot {u} C = \ dot {q} = I [/ matemáticas]

Esto se debe a que la carga en sí es lo que la corriente entrega al condensador. Entonces, para cada tiempo infinitesimal, la diferencia de carga almacenada en el capacitor es en realidad la diferencia de carga que entrega la corriente. Concepto duro al principio.

Tenga en cuenta que si no está familiarizado, estoy usando la notación punto sobre letra para representar el tiempo derivado del wrt. Es problemático escribir [matemáticas] \ frac {d} {dt} [/ matemáticas] en TeX una y otra vez después de esto. Vamonos.

Entonces, de esto:

[matemáticas] e-IR-u = 0 [/ matemáticas]

sustituyendo e:

[matemáticas] BLv-IR-u = 0 [/ matemáticas]

toma la primera derivada wrt time sobre la ecuación.

[matemáticas] BLa- \ dot {I} R- \ dot {u} = 0 [/ matemáticas]

Relación condensador sustituto

[matemáticas] BLa- \ dot {I} R- \ frac {I} {C} = [/ matemáticas]

Ahora necesitamos una ecuación más para resolver esto. Obtenemos esto de la Ley de Newton aplicada a la fuerza que experimenta la barra.

Ya deriva la ecuación correcta. Vamos a usar eso

[matemáticas] -BIL = ma [/ matemáticas]

¿Por qué el signo negativo? Bueno, obviamente, la varilla debe desacelerar para obedecer el principio de conservación de energía. Esa es la breve explicación.

Tenemos una. Qué conveniente, sustituya eso a nuestra primera ecuación.

[matemáticas] – \ frac {B ^ 2L ^ 2I} {m} – \ dot {I} R- \ frac {I} {C} = 0 [/ matemáticas]

Esta es una ecuación diferencial de primer orden de I, relativamente fácil de resolver.

La forma no tan correcta de resolverlo (tu profesor de cálculo te regañará):

Reorganice la ecuación de esta manera:

[matemáticas] \ dot {I} = – (\ frac {B ^ 2L ^ 2} {mR} + \ frac {1} {CR}) I [/ matemáticas]

Por el amor de Dios, eso es muy feo y problemático de escribir. Solo digamos:

[matemáticas] \ alpha = \ frac {B ^ 2L ^ 2} {mR} + \ frac {1} {CR} [/ matemáticas]

Entonces, se convirtió en:

[matemáticas] \ dot {I} = – \ alpha I [/ matemáticas]

Prepárate para ser regañado por tu profesor de cálculo. Esto es equivalente al resolver:

[matemáticas] \ int_ {I_0} ^ I \ frac {1} {I} dI = \ int_0 ^ t- \ alpha dt [/ matemáticas]

[matemáticas] ln \ frac {I} {I_o} = – \ alpha t [/ matemáticas]

[matemáticas] I = I_0e ^ {- \ alpha t} [/ matemáticas]

Primero, inspeccione la ecuación. Cuando t = 0, [matemáticas] I = I_0 [/ matemáticas], que el máximo I al principio. Cuando t se acerca al infinito, me acerco a 0. Cuando me acerco a 0, la fuerza sobre la barra disminuyó y la barra se acercará asintóticamente a la velocidad terminal, que es lo que intentaremos encontrar.

Okay. Tenemos a I. ¿Y ahora qué? Bueno, tratamos de encontrar v, por supuesto:

Toma esto:

[matemáticas] -BIL = ma [/ matemáticas]

[matemáticas] a = – \ frac {BL} {m} I = – \ frac {BL} {m} I_0e ^ {- \ alpha t} [/ matemáticas]

Por mi bien, por favor deja:

[matemáticas] \ beta = \ frac {BLI_0} {m} [/ matemáticas]

Integre ambos lados para obtener v. Mientras estamos en ello, ¿por qué no obtenemos v final ([math] v_f [/ math]) directamente?

[matemáticas] \ int_ {v_0} ^ {v_f} dv = \ int_0 ^ \ infty- \ beta e ^ {- \ alpha t} [/ matemáticas]

[matemáticas] v_f-v_0 = – \ frac {\ beta} {\ alpha} [/ matemáticas]

[matemáticas] v_f = v_0- \ frac {\ beta} {\ alpha} [/ matemáticas]

Ok, concluimos que la velocidad terminal es de hecho menor que la velocidad inicial. Ahora tenemos que encontrar [matemáticas] I_o [/ matemáticas]. ¿Recuerdas lo que dije la primera vez? En t = 0, el condensador no tenía carga almacenada (q inicial = 0). Entonces la Ley de Kirchoff para el circuito se convierte en:

[matemáticas] BLv_0-I_0R = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] I_0 = \ frac {BLv_0} {R} [/ matemáticas]

Sustituya esto por [math] \ alpha [/ math] y [math] \ beta [/ math], notará que su primer método es el correcto:

[matemáticas] v_f = \ frac {m} {B ^ 2L ^ 2C + m} v_0 [/ matemáticas]

Al igual que lo que dijo Neal, no aparece Resistencia aquí. Mi razón también es la misma que Neal.

Okay. Eso concluye sobre cómo resolverlo usando su primer método.

Resolverlo utilizando el principio de conservación de energía.

Resolver esto usando la conservación de energía es complicado. Tienes que entender realmente a dónde va toda esta energía. Discutamos esto cualitativamente primero. Sabemos que la velocidad de la barra debería disminuir. Entonces su energía cinética está disminuyendo. ¿A dónde va esta energía cinética? ¡Esta energía cinética se usa para mover la carga dentro del circuito! Si bien tiene corriente, la carga se mueve debido a la energía convertida.

Ahora, observamos por qué la carga se está moviendo. En realidad, lo pones en el primer método:

[matemáticas] -BIL = ma = F [/ matemáticas]

Esa es la fuerza que causó la corriente! Esa fuerza

Desde el punto de vista de la conservación mecánica de la energía. La cantidad de trabajo que realizó la fuerza cambiará la energía cinética. Básicamente significa:

[matemáticas] W = \ Delta {E_k} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int {F \ cdot ds} = \ Delta {E_k} [/ matemáticas]

Donde ds es los cambios infinitesimales en la ruta del objeto. Pero tuvimos un problema. No queremos calcular I, ¿verdad? Entonces, parece una integral que no queremos resolver.

Todavía hay esperanza. Calculamos el diferencial infinitesimal de energía. Básicamente significa:

[matemáticas] F {ds} = d {E_k} [/ matemáticas]

[math] -BIL {ds} = d {\ frac {1} {2} mv ^ 2} = mv {dv} [/ math]

Ahora, aquí está el arte. Usando la regla de la cadena:

[matemáticas] -BIL {ds} = – BLI {ds} = – BL \ frac {dq} {dt} {ds} = – BL {dq} \ frac {ds} {dt} [/ math]

dado que ds siempre tiene la misma dirección que v, básicamente esto significa:

[matemáticas] -BL {dq} v = -BLv {dq} [/ matemáticas]

Ahora tenemos:

[matemáticas] -BLv {dq} = mv {dv} [/ matemáticas]

dividir por v:

[matemáticas] -BL {dq} = m {dv} [/ matemáticas]

integre ambos lados y calcule directamente la condición final, produzca:

[matemáticas] – \ int_ {q_0} ^ {q ^ f} BL {dq} = \ int_ {v_0} ^ {v_f} m {dv} [/ math]

[matemáticas] BL (q_0-q_f) = m (v_f-v_0) [/ matemáticas]

Ahora, ¿cómo sabemos [matemáticas] q_f [/ matemáticas]?

Fácil, [matemática] q_f [/ matemática] es la cantidad de carga finalmente almacenada en el condensador.

En la condición final, no hay una ejecución actual. Lo que significa (¿recuerda cuál es nuestra primera discusión?) La diferencia de potencial del condensador es la misma que la fuerza electromotriz e.

[matemáticas] u_f = \ frac {q_f} {C} = BLv_f [/ matemáticas]

[matemáticas] q_f = CBLv_f [/ matemáticas]

Sustituya esto, y obtendrá el mismo resultado. Voila!

[matemáticas] v_f = \ frac {m} {B ^ 2L ^ 2C + m} v_0 [/ matemáticas]

Nota:

En realidad, puede obtener este resultado directamente manipulando [math] F = ma [/ math] y obtener la misma derivación. Después de todo, la conservación de energía mecánica se deriva de la segunda ley de Newton.

EDITAR:

Resolverlo usando el principio de conservación de energía en el circuito

Es bastante interesante derivar la respuesta de la conservación de energía en el circuito , como lo hizo OP. La razón por la cual el método que OP utiliza resulta incorrecto es porque está en conflicto con los supuestos (no hay resistencia pero q inicial es 0). Podemos usar nuestro modelo actual para llegar al mismo resultado.

Tenemos que tener cuidado al derivar el resultado de la conservación de la energía. Un signo incorrecto puede conducir a resultados incorrectos. Tenemos que considerar a dónde va la energía para poner el signo correcto.

Ahora considere esto, la energía se pierde de la energía cinética de la barra. Esta energía va directamente al circuito como energía de fuerza electromotriz, que a su vez es disipada por la resistencia y parcialmente almacenada por el condensador. La razón principal por la cual la respuesta del OP es incorrecta es porque la energía disipada por la resistencia no se cuenta. Si contamos eso, podemos llegar a la misma respuesta.

Sin embargo, contar la energía perdida por la resistencia es bastante difícil, como se muestra más adelante. Sigamos adelante.

Considere la ecuación de la Ley de Kirchoff que derivamos anteriormente:

[matemáticas] e-IR-u = 0 [/ matemáticas]

Teníamos 3 términos en él. Podemos transformar esta expresión para obtener el principio de conservación de energía. Consideremos cada término y cómo podemos calcular cada energía del término.

Energía de fuerza electromotriz

Podemos obtener fácilmente la energía de la fuerza electromotriz e. Después de todo, la energía proviene de la energía cinética perdida por la varilla, solo podemos calcularla a través de la diferencia de energía cinética.

Energía de carga almacenada en el condensador

También podemos obtener fácilmente la energía del condensador. Se expresó como energía almacenada por el condensador, generalmente expresada como:

[matemáticas] E_c = \ frac {1} {2} Cu ^ 2 [/ matemáticas]

Si sabe cómo derivarlo, se dará cuenta de que es conservador. Es decir, solo depende del estado de u en la ecuación. Si te preguntas de todos modos:

En física, expresamos la energía del cálculo del trabajo. El voltaje es otra forma de expresar la energía potencial del circuito eléctrico. El trabajo realizado por el circuito se calcula por el trabajo realizado por el voltaje (energía potencial) para mover la carga. Matemáticamente, se expresa por:

[matemáticas] E_c = W = \ int {V} {dq} [/ matemáticas]

Big V aquí representa la energía potencial del circuito o voltaje. Bueno, en este condensador, el voltaje es obviamente u:

[matemáticas] E_c = \ int {u} {dq} [/ matemáticas]

Podemos expresar:

[matemáticas] E_c = \ int {u} {dq} = \ int {\ frac {q} {C} {dq}} [/ matemáticas]

[matemáticas] E_c = \ frac {1} {2} \ frac {q ^ 2} {C} = \ frac {1} {2} Cu ^ 2 [/ matemáticas]

De la expresión, vemos que es conservador y solo depende de usted.

Energía disipada por la resistencia

Ahora, para derivar la expresión de energía disipada por la resistencia, no es tan obvio y un poco difícil. Probablemente quiera usar [math] E_r = I ^ 2Rt [/ math] pero no podemos hacer eso, ya que no soy constante en este circuito. Tenemos que derivarlo nosotros mismos y ver el resultado. En realidad, esto es bastante difícil ya que estamos atascados porque depende del tiempo. Pero, encontré una manera de derivarlo sin tener que saber qué función realmente soy. Así que, aquí vamos. Es un poco complicado.

Expresamos:

[matemáticas] E_r = W = \ int {V} {dq} = \ int {IR} {dq} = \ int {I ^ 2R} {dt} [/ matemáticas]

Ok, como dije, estamos atrapados. Podemos integrarlo fácilmente si soy constante. Pero no en nuestro caso. Sin embargo, encontré una solución alternativa.

¿Recuerdas nuestra Ley de voltaje de Kirchoff que derivamos antes? En el método anterior, tomamos la primera derivada del tiempo wrt y sustituimos nuestra segunda Ley de Newton buena, y obtenemos esto:

[matemáticas] \ dot {I} = – \ alpha I [/ matemáticas]

Todavía recuerdas a nuestro amigo [matemáticas] \ alpha [/ matemáticas], ¿verdad? :pag

De todos modos, previamente, tratamos de resolver esta ecuación diferencial. Ahora no queremos hacer eso. ¿Te das cuenta de que tengo I en la ecuación? Ahora esta es la parte no tan obvia:

[matemáticas] E_r = \ int {I ^ 2R} {dt} [/ matemáticas]

Usando la regla de la cadena, obtenemos:

[matemáticas] E_r = \ int {I ^ 2R} {dt} = \ int {I ^ 2R} {\ frac {dt} {dI} {dI}} [/ matemáticas]

[matemáticas] E_r = \ int {\ frac {I ^ 2R} {\ dot I} {dI}} [/ matemáticas]

Ahora, sustituya nuestro [math] \ dot I [/ math]

[matemáticas] E_r = \ int {- \ frac {IR} {\ alpha} {dI}} [/ matemáticas]

¿Ves el signo negativo? Es importante. Te lo explicare mas tarde

Ahora integrelo, obtenemos:

[matemáticas] E_r = – \ frac {1} {2} \ frac {I ^ 2R} {\ alpha} [/ matemáticas]

Usaremos esta definición. Por lo que parece, también es conservador y solo depende de I. El signo negativo puede interpretarse como la energía que pierde la resistencia. Bueno, eso tiene sentido. Como la resistencia crea una caída de voltaje y la energía se disipa.

Derivando el principio de conservación de energía del circuito

Okay. Ahora, tenemos las tres definiciones de energía que necesitábamos. Básicamente, ahora queremos usar esto en el principio de conservación de energía. Volvamos a la ecuación de Kirchoff:

[matemáticas] e-IR-u = 0 [/ matemáticas]

Esto expresa la conservación del voltaje en el sistema. Podemos trabajar a partir de esto para crear nuestro principio de conservación de energía. Cada uno de los términos es un voltaje. Si cada voltaje es responsable de las cargas en movimiento, entonces podemos decir que cada voltaje se conserva como la energía se conserva.

Ok, estas confundido? Dicho matemáticamente, la integración de esta ecuación wrt [matemáticas] dq [/ matemáticas] para crear una expresión de trabajo / energía creará una constante. ¿Incluso estás confundido? Bueno, básicamente lo que estoy tratando de decir es esto:

[matemáticas] \ Delta {E_e} – \ Delta {E_r} – \ Delta {E_c} = 0 [/ matemáticas]

Se lee como: La diferencia de energía total en el circuito se conserva. O equivalentemente es lo mismo que:

[matemáticas] \ Delta {E_e} = \ Delta {E_r} + \ Delta {E_c} [/ matemáticas]

Ahora, puede leer fácilmente: la diferencia de energía de la fuerza electromotriz se transfiere como disipación de energía por la resistencia y se almacena en el condensador. Ahora tiene más sentido, con suerte.

¡Calculemos todo esto!

Como dije antes, la diferencia de energía de la fuerza electromotriz proviene de la pérdida de energía cinética de la barra. Podemos escribir esto:

[matemáticas] \ Delta {E_e} = – \ Delta {E_k} = \ frac {1} {2} m (v_o ^ 2-v_f ^ 2) [/ matemáticas]

No entres en pánico. El signo negativo está ahí porque la energía electromotriz que llega al circuito (en aumento) proviene de la pérdida (por lo tanto, el signo negativo) de la energía cinética de la barra.

Ahora calculamos la energía disipada por la resistencia. Recuerde, en [matemática] t = 0 [/ matemática] el capacitor está vacío, no contiene carga ([matemática] q_0 = 0 [/ matemática]), entonces el capacitor no tiene ninguna diferencia de voltaje. Esto significa que el voltaje causado por la fuerza electromotriz se cae todo por la resistencia. O, en otras palabras, intente calcular [matemáticas] I_0 [/ matemáticas]

En realidad, ya lo calculamos:

[matemáticas] I_0 = \ frac {BLv_0} {R} [/ matemáticas]

Luego, considere cuando la varilla alcanza la velocidad final, el condensador está lleno, por lo que no más corriente funcionando. Esto provocó que la varilla dejara de desacelerar.

[matemáticas] I_f = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Delta {E_r} = – \ frac {1} {2} \ frac {R} {\ alpha} (I_f ^ 2-I_0 ^ 2) [/ matemáticas]

De nuevo, cuidado con el letrero.

[matemáticas] \ Delta {E_r} = \ frac {1} {2} \ frac {RI_0 ^ 2} {\ alpha} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Delta {E_r} = \ frac {1} {2} \ frac {B ^ 2L ^ 2v_0 ^ 2} {\ alpha R} [/ matemáticas]

Luego, la última parte la energía del condensador.

Recuerde que en [matemáticas] t = 0 [/ matemáticas] el condensador no contiene ninguna carga, por lo que la energía es 0. Al final, el condensador contiene carga completa, luego la parada de corriente. Lo que significa:

[matemáticas] e = u = BLv_f [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Delta {E_c} = \ frac {1} {2} C (u_f ^ 2-u_0 ^ 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Delta {E_c} = \ frac {1} {2} CB ^ 2L ^ 2v_f ^ 2 [/ matemáticas]

Finalmente, sustituya todo eso para obtener:

[matemáticas] \ Delta {E_e} = \ Delta {E_r} + \ Delta {E_c} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {1} {2} m (v_o ^ 2-v_f ^ 2) = \ frac {1} {2} \ frac {B ^ 2L ^ 2v_0 ^ 2} {\ alpha R} + \ frac { 1} {2} CB ^ 2L ^ 2v_f ^ 2 [/ matemáticas]

Ehm, creo que puedes sustituir [math] \ alpha [/ math] tú mismo. Estoy demasiado cansado para escribir todo eso.

Llegarás finalmente a:

[matemática] v_f ^ 2 = \ frac {m ^ 2} {(B ^ 2L ^ 2C + m) ^ 2} v_0 ^ 2 [/ matemática]

enraizamiento cuadrado en ambos lados, y solo tomamos el valor positivo, finalmente obtenemos:

[matemáticas] v_f = \ frac {m} {B ^ 2L ^ 2C + m} v_0 [/ matemáticas]

Cuál es el mismo valor que obtenemos de la conservación de energía mecánica, pero este caso es más problemático.

Entonces, sí, todo esto debería ser consistente.

Esa es la belleza de la física.

Si todavía estás confundido, no dudes en preguntar en el comentario.

En realidad, espero no haber perdido el tiempo escribiendo todo esto. Esperemos que alguien se beneficie de esto. Gracias.

Quizás ninguno.

Sin especificar la frecuencia resonante de LC con Q infinita y el momento desconocido de inercia para alguna masa desconocida del inductor con permeabilidad desconocida y valor desconocido de capacitancia, es posible que simplemente no se mueva y ¿cuál es la frecuencia resonante mecánica en aire sin fricción?

En la primera ecuación pareces haber usado la segunda ley de Newton. Tenga en cuenta que la segunda ley de Newton dice:

[matemáticas] F = \ frac {dP} {dt} [/ matemáticas]

Esto no es lo mismo que [matemáticas] F = \ frac {\ Delta P} {\ Delta t} [/ matemáticas], como:

La corriente en el circuito es función del tiempo => La fuerza es una función del tiempo. Por lo tanto, necesita integrar F (t):

[matemáticas] \ int_ {0} ^ {t} F (t) dt = \ Delta P [/ matemáticas]

El segundo método parece correcto.

Creo que ninguno de ellos es correcto, el condensador tiene un voltaje inicial y carga Vi = Qi / C y un voltaje final y carga Ve = Qe / C siendo este último = B * L * Se

Se significa velocidad final mientras que Si = vo para coherencia

La pérdida de energía eléctrica almacenada es (Vi ^ 2-Ve ^ 2) / 2 = m * (Se ^ 2-Si ^ 2) / 2

La ecuación I * delta t = Q no es precisa ya que la corriente varía con el tiempo, entonces prefiero trabajar con energías.

Omití los datos de la carga inicial del condensador igual a cero, luego Vi = 0, haciendo que la segunda respuesta fuera OK (asumía una condición de aceleración en lugar de una condición de carga).