Iba a intentar comenzar la derivación desde el principio, pero se hizo extremadamente larga y engorrosa, así que voy a omitir la derivación de la teoría de Euler-Bernoulli. Si quieres que intente y empiece desde el principio, házmelo saber. Usando la teoría de vigas de Euler-Bernoulli, se puede demostrar que la tensión en una viga en flexión pura es
[matemáticas] \ sigma = \ frac {Mi} {I} [/ matemáticas]
Donde M es el momento en la viga, y es la distancia desde el centroide en el que desea encontrar la tensión, e I es el momento del área de inercia. La definición de momento es fuerza por distancia. En nuestro caso obtenemos
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[matemáticas] M = Fd = mgd [/ matemáticas]
También ahora sabemos que el momento de inercia de un rectángulo es
[matemáticas] I = \ frac {bh ^ 3} {12} [/ matemáticas]
Esto puede derivarse fácilmente de integrales si lo desea, pero puede encontrarlo en cualquier tabla de momentos de inercia. Como la viga es simétrica, el punto de máxima tensión está a una distancia de
[matemáticas] y = \ frac {h} {2} [/ matemáticas]
y finalmente sabemos que la definición del módulo de los jóvenes es
[matemáticas] E = \ frac {\ sigma} {\ epsilon} [/ matemáticas]
Que se puede escribir como
[matemáticas] \ sigma = E \ epsilon [/ matemáticas]
Ahora, si sustituimos todas nuestras ecuaciones en la relación de estrés, terminamos con
[matemáticas] E \ epsilon = \ frac {mgd \ frac {h} {2}} {\ frac {1} {12} bh ^ 3} [/ matemáticas]
Si hacemos algunas cancelaciones y resolvemos epsilon obtenemos
[matemáticas] \ epsilon = \ frac {6mgd} {Ebh ^ 2} [/ matemáticas]
Que es lo que estábamos tratando de probar. Ahora tenga en cuenta que esto se deriva de la flexión pura, lo que significa que solo hay un momento en la viga. En su caso, la viga también tiene un esfuerzo cortante que creará cierta tensión de corte. Si solo mide la tensión axial, esto no aparecerá, sin embargo, debe tenerlo en cuenta. También es cierto que si la viga es bastante larga, la mayor parte de la tensión se debe a la flexión y no al corte. Si quieres que intente explicarte cómo es la primera ecuación, puedo hacerlo, pero es una ecuación bastante conocida.
