¿Qué efecto tiene el teorema de incompletitud de Godel en las leyes de la física?

Los teoremas de incompletitud de Gödel son resultados en sistemas matemáticos formales. Tienen cero impacto en la física.

Las personas que piensan que los resultados de Gödel tienen algo que ver con la “verdad” tienen un malentendido fundamental de ambos:

• Sistemas formales; y
• El significado de “verdad”.

Las llamadas “leyes” de la física son típicamente teorías matemáticas utilizadas para modelar sistemas físicos. Si la evidencia empírica contradijera algo en dicho modelo, se utilizaría una nueva teoría matemática o un nuevo modelo de la teoría existente para reflejar mejor la realidad. El modelo matemático nunca alcanza el estado de la realidad misma.

Si una teoría matemática en Física emplea un sistema formal al que se aplican los resultados de Gödel (y casi todos lo hacen, ya que generalmente usan números como mínimo), entonces hay de hecho oraciones de Gödel que no se pueden probar ni refutar en la teoría. Lo que esto significa es que la oración correspondiente en el modelo físico no puede ser probada ni refutada. ¿Y qué?

A la gente le gustaría pensar que esto significa que hay cosas “verdaderas” en Física que no se pueden probar. Pero esto no tiene sentido. En primer lugar, no hemos dicho nada sobre la “verdad”. En segundo lugar, ¿cómo sabemos que las cosas son “verdaderas”? El hecho es que el razonamiento formal es el mecanismo más poderoso que tenemos para preservar la “verdad”. El razonamiento informal está lleno de agujeros y no se puede confiar en él. Vincular los teoremas de Gödel con la realidad física es un ejemplo del tipo de error que produce el razonamiento informal …

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Hay dos versiones de los teoremas de incompletitud de Gödel. Ambas son afirmaciones pertenecientes solo a sistemas axiomáticos que son lo suficientemente “fuertes” como para incluir la teoría de la aritmética. Es decir, los teoremas de incompletitud de Gödel son solo afirmaciones sobre ciertos comportamientos de ciertos conjuntos de axiomas matemáticos.

En lenguaje sencillo:

1. El primer teorema de incompletitud de Gödel afirma que cualquier sistema axiomático (de nuestro interés), si es lo suficientemente “fuerte” como para contener una forma elemental de teoría de la aritmética, siempre tendrá una verdad que no puede probar. En particular, si intenta agregar esa verdad al sistema axiomático, habrá otra verdad más, que el nuevo sistema axiomático no puede probar.
2. El segundo teorema de incompletitud de Gödel , que es un resultado mucho más devastador para los formalistas matemáticos, afirma que cualquier sistema axiomático consistente (de nuestros intereses), si es lo suficientemente “fuerte” como para contener la aritmética de Peano (es decir, lo que entendemos como de facto teoría estándar de la aritmética), ¡ni siquiera será capaz de demostrar su propia consistencia! Y como siempre, si intentas incluir una oración que “diga” “esta teoría es consistente” en tu teoría, entonces terminarás obteniendo una nueva teoría, cuya coherencia aún no se puede probar a partir de esta (nueva) teoría interna.

Es muy fácil exagerar el impacto de los teoremas de incompletitud de Gödel en dominios fuera de las matemáticas. En todo caso, estos teoremas realmente solo pueden afectar las teorías axiomáticas en física teórica que son lo suficientemente fuertes como para contener alguna teoría de la aritmética (o algunas otras variantes de la misma). En general, es difícil ver cómo afectaría a la física en general.

Como podemos ver aquí, este definitivamente no es el tema más fácil. Para más información sobre esto, la gente puede consultar Introducción a los teoremas de Gödel por Peter Smith.

Excelente pregunta Creo que los teoremas de incompletitud de Gödel deben aplicarse a las leyes físicas. Pasé 6 meses de un programa de lógica avanzada estudiando los Thms de Gödel y, como la mayoría de las personas, pensé que no se aplicarían a la física. Pero, si uno restringe la física a estados observables (puede describirse mediante un conjunto de “valores propios” cuánticos, entonces deberían aplicarse.

Teorema 1: cualquier conjunto coherente y no trivial no puede completarse. Un conjunto consistente es aquel en el que todos los miembros del conjunto se adhieren a un conjunto finito de reglas. El conjunto está completo si las reglas pueden probar con éxito todos los miembros posibles del conjunto. Un ejemplo de un conjunto completo, consistente y trivial sería el conjunto de enteros impares. No sé la definición de un conjunto “no trivial” pero supongo que el universo observable satisfaría esa definición. Si tiene un conjunto coherente no trivial, siempre habrá al menos un miembro permitido del conjunto que no se puede demostrar que sea un miembro del conjunto.

Teorema 2: un miembro permitido de un conjunto coherente no trivial que no puede mostrarse como miembro del conjunto puede mostrarse como un miembro del conjunto si se agrega una nueva regla, consistente con todas las reglas anteriores.

Presumiendo que la realidad física se puede describir de la misma manera que los intentos de mecánica cuántica, definiendo estados observables específicos (conjuntos de valores complejos enteros) y transiciones no observables, gobernadas por un grupo finito de reglas mutuamente consistentes, entonces el universo físico satisface los criterios de Gödel. Toda la ciencia (matemáticas, lógica e incluso vincular observaciones a eventos) depende absolutamente de una causalidad estricta.

El conjunto de reglas que sigue nuestro universo físico observable son simetrías de calibre. Estas simetrías de conservación son cosas como carga eléctrica y giro. Creo que es interesante que el universo parece haber experimentado algunas transiciones en su historia donde aparecieron nuevas leyes físicas como consecuencia de la aparición de nuevos estados físicos previamente inexistentes. Estas “rupturas de la simetría del indicador” siempre revelan una nueva simetría del indicador. Cada simetría viene con su propio conjunto de partículas de materia y al menos una fuerza para permitir que las partículas interactúen.

Extendiendo esta idea, dado que las nuevas reglas (simetrías de indicadores) deben ser completamente consistentes con las reglas preexistentes, cada nueva forma de materia y fuerza debe ser invisible para todas las formas preexistentes. La adición de la nueva ley física no puede cambiar el conjunto anterior de estados físicos permitidos.

Los teoremas de incompletitud de Gödel no solo son aplicables a las leyes físicas, sino que pueden explicar por qué hay “materia oscura” … formas de materia que no parecen interactuar con otras formas de materia.

El teorema de Gödel solo dice que para algunos sistemas de axiomas fijos , definidos recursivamente, hay declaraciones que no puedes probar o refutar.

vis-à-vis

Puede agregar un axioma (o su negación) para obtener una nueva teoría equiconsistente que pueda probarlo (o refutarlo).

Esto no debería importar en el caso de Física porque puedes agregar nuevos axiomas cuando lo desees. No hay razón para que un resultado en física deba probarse en términos de algún sistema fijo.

No soy experto en el teorema de incompletitud de Godel, pero por lo que sé de él básicamente significa que ningún conjunto de axiomas puede probarse “completo” bajo sus propias reglas. De todos modos, es una construcción de las matemáticas, y es relevante solo para las matemáticas. No tiene ningún efecto sobre las leyes de la física.

Ninguno en absoluto.