El símbolo de Levi-Civita se usa prácticamente en ciertos cálculos, como la expresión del producto cruzado de dos vectores:
[matemáticas] {\ displaystyle \ mathbf {a \ times b} = {\ begin {vmatrix} \ mathbf {e_ {1}} & \ mathbf {e_ {2}} & \ mathbf {e_ {3}} \\ a ^ {1} y a ^ {2} y a ^ {3} \\ b ^ {1} y b ^ {2} y b ^ {3} \\\ end {vmatrix}} = \ sum _ {i = 1} ^ { 3} \ sum _ {j = 1} ^ {3} \ sum _ {k = 1} ^ {3} \ varepsilon _ {ijk} \ mathbf {e} _ {i} a ^ {j} b ^ {k }}[/matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle (\ mathbf {a \ times b}) ^ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {3} \ sum _ {k = 1} ^ {3} \ varepsilon _ {ijk} a ^ {j} b ^ {k} [/ matemáticas]
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o usando la convención de sumatoria:
[matemáticas] \ displaystyle (\ mathbf {a \ times b}) ^ {i} = \ varepsilon _ {ijk} a ^ {j} b ^ {k} [/ math]
Sin embargo, se puede dar una interpretación geométrica algo simple al símbolo de Levi-Civita en tres dimensiones.
Considere un tensor [matemático] \ varepsilon [/ matemático] de rango [matemático] 3 [/ matemático] (una función multilínea) que toma tres vectores [matemático] \ textbf {a}, \ textbf {b} [/ matemático] y [math] \ textbf {c} [/ math] y producir un número [math] \ varepsilon (\ textbf {a}, \ textbf {b}, \ textbf {c}). [/ math]
[math] \ varepsilon (\ textbf {a}, \ textbf {b}, \ textbf {c}) [/ math] puede considerarse como el volumen orientado del paralelepípedo atravesado por [math] \ textbf {a}, \ textbf {b} [/ math] y [math] \ textbf {c} [/ math]:
(imagen de arriba modificada de una imagen gratuita en Wikipedia).
Usando el producto triple escalar tenemos:
[matemáticas] \ displaystyle \ varepsilon = (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) \ cdot \ mathbf {c} [/ math]
Los componentes del tensor representan la evaluación de los valores de ese tensor en conjuntos de vectores de base. Consideremos los vectores base [math] e_i [/ math], [math] e_j [/ math] y [math] e_k [/ math], y definamos los componentes del tensor [math] \ varepsilon [/ math] como el números
[matemáticas] \ displaystyle \ varepsilon_ {ijk} = \ varepsilon (e_i, e_j, e_k) [/ math]
Se puede verificar que los componentes del tensor [math] \ varepsilon [/ math] constituyen el símbolo de Levi-Civita. Este símbolo representa los componentes de un tensor llamado tensor de volumen o tensor Levi-Civita .
[math] \ displaystyle \ varepsilon_ {ijk} [/ math] representa el volumen del paralelepípedo orientado que abarca los vectores base [math] e_i [/ math], [math] e_j [/ math] y [math] e_k . [/ math] Y el tensor [math] \ varepsilon [/ math] es independiente de cualquier base particular.
Para obtener más información sobre este tema, consulte, por ejemplo, el libro Una introducción a los tensores y la teoría de grupos para físicos de Nadir Jeevanjee.
El tensor covariante general de Levi-Civita
[matemáticas] \ displaystyle E_ {a_ {1} \ dots a_ {n}} = {\ sqrt {\ left | \ det [g_ {ab}] \ right |}} \, \ varepsilon _ {a_ {1} \ puntos a_ {n}} [/ math]
representa los componentes de una pseudo-n-forma
[matemáticas] {\ displaystyle d (vol) = {\ sqrt {| g |}} dx ^ {1} \ wedge \ dots \ wedge dx ^ {n}} [/ math]
y se conoce como la forma de volumen de Riemann o elemento de volumen.
