El movimiento de un proyectil está compuesto por un movimiento horizontal uniforme y un movimiento vertical uniformemente acelerado.
Considerando [math] \ vec {V_0} [/ math] la velocidad de lanzamiento, si [math] \ alpha [/ math] es el ángulo que este vector forma con el eje horizontal, entonces su componente horizontal es
[matemáticas] V_ {0x} = V_0 \ cos \ alpha [/ matemáticas]
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y su componente vertical es
[matemáticas] V_ {0y} = V_0 \ sin \ alpha [/ matemáticas]
donde [math] V_0 [/ math] es la magnitud de la velocidad inicial.
Entonces, considerando la ecuación de espacio vs. tiempo de un movimiento uniforme y acelerado uniformemente, tenemos para las coordenadas del proyectil
[matemáticas] x (t) = V_0 \ cos (\ alpha) t [/ matemáticas]
[matemáticas] y (t) = V_0 \ sin (\ alpha) t – {1 \ over 2} gt ^ 2 [/ matemáticas]
El tiempo que el proyectil vuelve a caer a la tierra, se puede encontrar igualando la segunda ecuación a 0, entonces tenemos
[matemática] y (t) = 0 \ rightarrow V_0 \ sin (\ alpha) t = {1 \ over 2} gt ^ 2 [/ math]
que tiene dos soluciones [matemáticas] t = 0 [/ matemáticas], cuando se lanza el proyectil y [matemáticas] t = 2 \, V_0 {{\ sin (\ alpha)} \ over {g}} [/ matemáticas] cuando el proyectil vuelve a caer a la tierra.
Si sustituimos el último valor en la primera ecuación, obtenemos el rango en función del ángulo que es:
[matemáticas] x = 2 {{V ^ 2_0} \ over g} \ cos (\ alpha) \ sin (\ alpha) [/ math]
Parece una parábola pero de hecho no lo es
