Encontrando Pi en problemas físicos, ¿algún ejemplo?

Este es más un resultado teórico, pero el cálculo de billar de Galperin es un ejemplo divertido.

Supongamos que tenemos una habitación infinitamente larga, con una pared en el extremo izquierdo (similar a un rayo). En esta cuerda hay dos bolas de billar en reposo, con la más pequeña más cerca de la pared. Deje que las masas de las bolas de billar sean [matemáticas] m [/ matemáticas] y [matemáticas] M = m * 100 ^ n [/ matemáticas].

Ahora, mueve la bola de billar más grande hacia la más pequeña. Suponiendo colisiones elásticas y la conservación de la cantidad de movimiento, el número total de rebotes que ocurren es casi seguro los primeros dígitos [matemáticos] n + 1 [/ matemáticos] de [matemáticos] \ pi [/ matemáticos]. (El resultado se basa en una aproximación, por lo que podría no ser siempre válido. Se conjetura que es válido para todas [matemáticas] n [/ matemáticas], pero no se ha demostrado).

Hay una buena explicación de por qué esto es cierto en la primera respuesta en
http://math.stackexchange.com/qu…

Un problema interesante donde [math] \ pi [/ math] aparece de la nada parece ser el problema de la aguja del Buffon . Supongamos que tengo una aguja de longitud l y un piso hecho de tiras de madera, cada una de ancho l. Si la aguja se cae al suelo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la aguja se encuentre en la línea entre dos tiras?

Resulta que la probabilidad es

[matemáticas] P = \ frac {2} {\ pi} \ aprox. 0.637 [/ matemáticas]

En realidad, si lo piensas, no debería sorprendernos que aparecieran [math] \ pi [/ math]. La probabilidad de que la aguja se encuentre entre dos tiras está estrechamente relacionada con el ángulo en el que la aguja cae al suelo. Cuanto más paralelo a las tiras aterriza, es menos probable que aterrice entre dos tiras. Ahí es donde la constante se cuela.

En realidad, puede usar este problema para estimar el valor de [math] \ pi [/ math] a través del experimento físico, aunque esto no está exento de problemas. Para una discusión más completa, vea wikipedia [1].

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Buf

Toma una cuerda de violín y tócala exactamente en el centro. ¿Qué fracción de la energía está en el modo fundamental?

La energía es proporcional al cuadrado de amplitud y al cuadrado de frecuencia. La frecuencia es proporcional al número de modo, mientras que si haces la integral de Fourier encontrarás que la amplitud de una onda triangular es proporcional al cuadrado inverso del número de modo. (Y por simetría, solo contribuyen los modos pares). Por lo tanto, la energía es proporcional al cuadrado inverso del número de modo para los modos pares.

La fracción de energía en el modo fundamental es entonces

[matemáticas] \ frac {1} {1 + 1/9 + 1/25 + 1/49 + \ ldots} = \ frac {8} {\ pi ^ 2} [/ matemáticas]